112(1)

I. Całkę f R(x, x*, X¹¹,    gdzie R — funkcja wymierna, a —

— i /? = ~.... — liczby wymierne, można sprowadzić do całki funkcji wymiernej, a tym samym wyrazić przez funkcje elementarne za pomocą podstawienia x = f*, gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem wszystkich wykładników ułamkowych x występujących pod całką.

= lub ^

cx+d

Całki bardziej ogólnej postaci f R[x, (ax+b)*_t (ax+b)^f, ...]dx lub /^R [*’ () ’ (t+z) » "\^dx znajdujemy (sprowadzamy do całek funkcyj wymiernych) za pomocą analogicznych podstawień: axĄ-b =

II. Trzy podane niżej typy całek sprowadzamy do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, za pomocą wskazanych obok podstawień:

f R(x, \^; a¹—x^Ł)dx — przez podstawienie x = a sin t

J R(x,)/a²-\-x^l)dx — przez podstawienie a: = atgt

f R(x,yx²—a²)dx — przez podstawienie a: = a sec i

m. Całka / x^m(a~ybx")^pdx z różniczki dwmmiennej x^m (a-j-bx")^pdx sprowadza się do całki funkcji wymiernej w trzech przypadkach:

1)    gdy p jest liczbą całkowitą — przez rozłożenie na sumę za pomocą dwumianu Newtona.

2)    gdy jest liczbą całkowitą — przez podstawienie a^Jrbxⁿ = f,

fł1 j- 1

3)    gdy —---b P jest liczbą całkowitą—przez podstawienie aĄ-bxP~xⁿz^r,

gdzie r jest mianownikiem ułamka p.

IV. Całkę f    (gdzie P„(x) — wielomian stopnia n, a v — ax^ljr

J    \ v

+bx-\-c) można obliczyć ze wzoru

ClMdx = (A_lx’'-¹-J_rApcⁿ-²+ ... +A_n)i/v+B C~ '

J yv    J (v

W' którym A_lt A₂,..., B — stałe, które wyznacza się przez zróżniczkowanie obu stron tego wzoru, pomnożenie przez j v i porównanie współczynników przy jednakowych potęgach x.

W podobny sposób można też obliczyć całkę

J    J |'n

= (A,0"+A₂0+ ... +A_n^V*+B f ■—

V. Całkę J

(Ax+B)dx

(x—<x) \^/ax^l-\-bx-\-c

można obliczyć przez podstawienie

Xⁱ-a = t.

537. Obliczyć całki: i +y x

⁴⁾i

+f^

dx

dx

2)

IW^:

0\ (l+^)^s

r 2x<-

^3,JT3

l+£

20—x—5

0—2x

dx

dx

3)/i

p'(4-^)³

dx

x⁶

6) f-%==

J (x— l)j 1—0

Rozwiązanie: 1) Podstawiając x — t⁴, zgodnie z regułą I, otrzymamy dx = 4t³dt, a więc

=⁴/(‘+^=⁴(M^-/4r) =

= 4ł-b21n(t²+l)—4 arc tgt-j-C Wracając do zmiennej wyjściowej x, mamy

/== 4j/ x -f 2 ln (1 j/*)—4 arc tg ]/ x+C

«    1 ^ X

2) Zgodnie z regułą I, stosujemy podstawienie —-— = t², skąd znaj

dujemy x

r 1

, dx =

(r²—-1)²

oraz

--_T<>+C-C

—2tdt

¥-i)² 2

²J<**

15*

227