DSCN1088 (2)

5.8.    Udowodnić, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to

a² + b² + c² < 2(ab + bc + ać).

5.9.    Mając dane długości boków trójkąta ABC, obliczyć długość wysokości opuszczonej na bok AB i długość środkowej boku AB.

5.10. Niech punkt M będzie punktem przecięcia się środkowych BD, AF i CE trójkąta ABC. Wykazać, że jeśli | <tABD\ = \*fMAD\, to

\AF\\CE\W\'Xfi

|/4B| |BC| \AC\ 2 '

5.11. Wykazać, że długość dwusiecznej kąta prostego w trójkącie prostokątnym jest równa ab^/2 a + b’

gdzie a, b są długościami przyprostokątnych tego trójkąta.

5.12. W trójkącie ABC przeprowadzono dwusieczną kąta ABC, przecinającą bok AB w punkcie D.

Wykazać, że

|CD| < y/\AC\-\BC\.

5.13. Prosta p przecinająca boki AB i AC trójkąta równobocznego ABC dzieli ten trójkąt na dwie figury o równych polach.

Jaki kąt tworzy ona z bokiem AB, jeśli dzieli go na odcinki, których stosunek równa się k? Dla jakiej wartości k miara

szukanego kąta równa się

5.14.    Wykazać, że jeśli wysokość i środkowa boku trójkąta poprowadzona z tego samego wierzchołka, dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 kąty przystające, to trójkąt jest prostokątny.

Znaleźć miary dwóch pozostałych kątów tego trójkąta.

5.15.    Trójkąt ABC ma tę własność, że istnieje prosta przechodząca przez jeden z jego wierzchołków dzieląca trójkąt ABC na dwa trójkąty do niego podobne.

Wykazać, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

r>

5.16.    Przez dowolny punkt D (D £AiD £B) należący do podstawy AB trójkąta równoramiennego ABC poprowadzono proste prostopadle do ramion AC i BC, które przecinają je odpowiednio w punktach G i E.

Wykazać, że wysokość opuszczona na jedno z ramion danego trójkąta ma długość równą \DE\ + \DG\.

5.17.    Przez punkt M należący do boku AC trójkąta ABC (M j=A i M j=C) poprowadzono proste równolegle do boków BC i AB przecinające te boki odpowiednio w punktach K, L.

Wykazać, że

PnAML + KMC ^ 2

5.18.    Półproste AA,, BB,, CC, (A, eBC, B,eAC i C,eAB) są dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Pola trójkątów ABA,, ACA,, BCB,, BAB,, CAC,, CBC, równe są odpowiednio a,, a₂, b,. b₂. c,, c₂.

Wykazać, że ĄiMi ₌ i a₂ b2 c₂

5.19.    Wykazać, że pole trójkąta, którego jednym z wierzchołków jest środek ramienia trapezu, a pozostałe dwa wierzchołki są końcami drugiego ramienia tego trapezu, jest równe połowie pola trapezu.

5.20.    Wykazać, że jeśli h,, h₂. h₃ oznaczają wysokości trójkąta, zaś r oznacza promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, to

1_J_ J_ r h,^ h₂* h₃'

5.21.    Wysokość CD trójkąta równoramiennego ABC, w którym |,4C| = \BC\, ma długość h. Na wysokości CD jako na średnicy zakreślono okrąg przecinający ramię BC w takim punkcie E, że

|C£| m |£B| ~ n'

pole trójkąta ABC.

33