15278 Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad 8 132

108.    Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz kąty tego trójkąta.

109.    Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Oblicz kąty tego trójkąta.

110.    W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wj^sokości jest równa 5. Kąt przy podstawie tego trójkąta jest a. Oblicz pole trójkąta.

111.    Wykaż, że

a)    jeśli 0 < a < 45°, to cos a > sina,

b)    jeśli 45° < a < 90°, to sina > cos a.

§ 5. Funkcje trygonometryczne sumy, różnicy i wielokrotności kąta — zadania

V2    3

112.    Mając dane: sina = ——, cos/? — — i 90° < a < 180°,

3    4

i 0° < /? < 90°, oblicz:

c)    tg(a+/?),

d)    ctg(a—/?).

a)    sin (a—/?),

b)    cos(a-f-/5),

113.    Oblicz:

a)    sin(a+45°) mając dane cos a =--i 90° < a < 180°,

2

12 .

b)    cos(60°—a) mając dane sina =--i 180° < a < 270 .

13

114.    Mając dane: sina = 0,6, sin/? = 0,8 i a+/?-f-y = 180°, oblicz siny.

15

115.    Mając dane: sina = -jy i a+/? = 180°, oblicz cos/?.

116.    Mając dane: sin 12° = a, oblicz cos 33°.

117.    Mając dane: sin 10° = p, oblicz sin35°.

118.    Zbadaj, czy istnieją kąty a, /?, y takie, że a+/?-|-y = 180° i cosa = 0,8, i cos/? = —0,9.

119.    Wykaż, że jeśli a i /? są kątami ostrymi, to sin(a-f-/?) < sina-j-+sin/?.

121.

122.

123.

124.

125.

12G.

sin (a+/?-j-y) i cos (a+/?+y) wyraź za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów a, /?, y.

Mając dane tg (a—45°) = 3, oblicz tga.

Wykaż, że jeśli a, (3 i y są kątami trójkąta i tga = 3, tg/? = 2, to y = 45°.

Mając dane: tg a-f-tg/? = 2 i tg(a+/?) =..4, oblicz tga i tg/?.

Mając dane: tga = a i tg (a+/?) = a+6, oblicz tg/?. Dla jakich wartości a, b zadanie ma rozwiązanie ?

1 —f-tg B

Wykaż, że jeśli a—/? = 45°, to--= tga i

1—tg/?    tga+l

(a, /? oznaczają kąty ostre).

Wykaż, że jeśli a+/? = 45°, to (1-j-tga) (1-j-tg/?) = 2 i (1 —ctga) (1—ctg/?) = 2(a, /? oznaczają kąty ostre).

Wykaż, że jeśli cos (a-)-/?) = 0, to sin(a-f 2/?) = sina.

tga—1

tg (3

127

128.    Mając dane cos-

129.

2 n

i a e (0 ;at), oblicz sina, cos a, tga.

2 1

Wykaż, że jeśli a-f-/? = 180°, to dla każdego kąta y prawdziwa

130.

•    /    ,, . / a \    / B \

jest rownośc sm l-+y I = cosI ■yJ .

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie jest a, a kąt

15

przy wierzchołku jest /?. Mając dane sina = —, oblicz sin/?

17

i cos (3.

131.    Wykaż, że jeśli a, /?, y są kątami trójkąta takimi, że

. a . y . (3    a y 1

sm —*8111— = sm—, to tg—*tg — = —.

2 2 2 2 ^& 2 2

132.    Nie korzystając z tablic wykaż, że

a) cos36°*cos72° = —

'    4

ctg 15°—tg 15° c) —--⁵- = V3,

b) tg 15°+ctgl5° = 4, d) sin 15°+tg 30° • cos 15°

Vq

3

3 - Zbiór zadań z matematyki, kl. III i IV 1. o.

33