DSCN1080 (2)

2.43. Dany jest zbiór A = {(x,y):xeR. i ye/?_} i funkcja /: A -* R określona następująco:

Wykazać, że zbiór wartości funkcji/jest ograniczony z dołu i znaleźć kres dolny zbioru wartości funkcji.

2.44. Nie korzystając z rachunku pochodnych znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f:x~* sin⁶ x + cos⁶ x w przedziale

2.45. Znaleźć funkcję /: R -* R różniczkowalną w R spełniającą warunki:

/(x) +/(x - 1) = x i /'(x)=/'(x-l).

2.46. Wykazać, że jeśli funkcja f:R-+R jest funkcją okresową i różniczkowalną w R, to jej pochodna/jest także funkcją okresową.

2.47. Zbadać różniczkowalność funkcji / danej wzorem

»)/() = -l.

b) /(x) = 2|x|e ^-u+1).

2.48. Znaleźć wzór określający funkcję/: R -* /{jeśli wiadomo, że/jest funkcją parzystą i dla każdego a, beR spełniony jest warunek

Aa + b) =/(a) +f(b) + 2ab(2a² + 3 ab + 2b²) + 1.

2.49. Funkcja/:/? -*R spełnia dla każdego a, beR warunek:

Aa - b) =/(a)-f(b) + 3ab{b- a).

Wykazać, że/jest funkcją nieparzystą taką, że dla każdego xeR i każdego n e JV₊ prawdziwa jest równość:

/(nx) = n/(x) + (n — l)n(n + l)x³.

Podać przykład funkcji spełniającej powyższe warunki.

2.50. Dla jakich wartości parametrów a, b do funkcji /: R\ -»R

określonej wzorem f{x) =="t--- ^ istnieje funkcja odwrotna?

Wykazać, że jeśli istnieje funkcja /"¹ odwrotna do f, to obie te funkcje są równe.

2.51. Wykazać, że dla każdego xeR prawdziwa jest nierówność e*“^ł > x, gdzie e = lim (1 + Następnie, korzystając z tej

M-* 00 **

nierówności, udowodnić nierówność Cauchy’ego (patrz zad. 1.11).

3.1. Wykazać, że dla każdego neN₊ prawdziwa jest nierówność

3.2. Wykazać, że dla każdego neN+ prawdziwa jest nierówność

1 5 11 /r + n — 1 _

2! ⁺ 3! ⁺ 4!⁺“⁺ (n+l)! ^<Z

3.3. Wykazać że dla każdej liczby naturalnej n ^ 2, prawdziwa jest nierówność

3.4. Wykazać że dla każdego neN₊ i dla każdego xeR+ spełniona jest nierówność

1 + -J2 4- y/3 + ... + y/n ^-7=-.

2y/X

3.5. Wykazać, że dla każdej pary (a,b) liczb rzeczywistych nieujemnych i dla każdej liczby neN₊ prawdziwa jest nierówność

(a + b)^H < 2"" ¹ (o" + V).

2 — Zbiór rarirń 17