Picture1

n i

25. Wykazać, że wektory:

vi (1.0,0), x₂> (0, 1,0), X) “ (0, 0, I), * = (1. I, I) generują przestrzeń l<ale nie s;| liniowo niezależne.

2(». W l<¹ dane są wektory:

v, (1,2,0), Xj = (-1, 0, I), * = (0, 2, 0).

( 7y wektory *, v₂, 2x\ - * + 4* tworzą bazę tej przestrzeni?

27. Wektor x ma w bazie kanonicznej rozkład postaci x = 3e\ + 2e₂ + Se₂. Znaleźć rozkład tego wektora w bazie:

- (K2,3), *₂ = (1,1,2), * = (2,1,0).

2H. Znaleźć współrzędne wektora (1,4, -3) w bazie:

a)    (2,2,0),    (0,2,2),    (2,0,2),

b)    (2,0,0), (-1,1,0), (0,1,1).

29.    l)o wektora * = (-1, 1) dobrać wektory tak, aby wektorx\ miał w bazie V|, v₂ współrzędne:

a) (2,3), b) (1,-1).

30.    Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory:

a)    \-| =(1,3, 2, 1), * = (4, 9, 5, 4), * = (3,7, 4,3),

b)    x\ = (-1, 0, 2), X2 - (3, 0, 2), * = (4,0,2).

31.    Wykazać, że w przestrzeni wektorowej (V, R, +, •), gdzie Vjest zbiorem f unkcji odwzorujących zbiór liczb rzeczywistych w siebie postaci:

V {/: f(x) = a₀ + ci\x + a₂x², a₀, a\, a₂ e R} bazę tworzą f = 1, f₂ = x, /j = x². Znaleźć rozkład funkcji:

a)    g(x) = 2x²-3,

b)    li(x) = 3x + 5

w bazie/1,/2,/3.

32.    Wykazać, że w przestrzeni wielomianów stopnia pierwszego Pi bazę tworzą wektory:

a)    l,x+l,

b)    I,jc-1,

c)    *+!,*—1.

33. Wyznaczyć bazy i określić wymiar następujących przestrzeni: a) V= {x g R³: jci +X2—* = 0},

l>) V {a t R*: x\ 2ai O a 2v, + v.,    0),

c) V {.v e K':.V| i v₂ Vi 0 a V| i 2.v,_t v₍ O a v_t 0).

34. Czy przestrzeń {0} ma bazę?

4.3. Podprzestrzeń wektorowa

Definicja 4.6

Niepusty podzbiór U przestrzeni wektorowej V nad ciałem K nazywamy nadprzestrzenią tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy:

1° A x+yeU,    (4.6)

x,yeU

2° A A caeU .    (4.7)

aeK x€l!

Przykład 4.4

Zbadać, czy zbiór U jest pod przestrzenią przestrzeni (R", R, +, •):

a)    U- {a = (ai, ...,a„) e R”:ai + x₂ +... + x„ = 0},

b)    ....    . ........a„) e R": *i-a₂ = 1}.

Ada) x — (A),...,x„) c U => Ai + a₂ + ... + a„ = 0, y = (y......y„) e U=> y_t +y₂ + ... +y» = 0.

1° Sprawdzamy, czy a + y = (a₎₅ ..., a„) + (yi, ...,y„) = (Ai +yi,..., x„ + y») należy do zbioru U.

a, +yi + a₂ + y₂ +... + x„ + y„ = (ai +a₂ +... + a„) + (yi + y₂ + - +y») = 0 + 0    0,

czyliA+ye U.

2° Sprawdzamy, czy ax = a{x\,..., x„) = (ax\,.... ax_n) należy do zbioru U. ax\ + ax₂ + ... + ax„ = o(ai + a₂ + ... + a„) = a • 0 = 0, czyli ax e U.

Tak więc (7jcst podprzestrzenią przestrzeni R".

Ad b) A = (Ai, ..., A„) G U A| - a₂ = 1,

y = (v,, -,y») e U => yi-y₂= 1.

1° Sprawdzamy, czy .v+y = (ai, ..., A„) + (yi,...,y„) = (x\ +yi, A₂+y₂, ...,A„+y„) należy do zbioru U.