wektory1

Zastaw 6

1.    Wykazać, że wektory {[1,2,1], [0,1,3], [1,2,0]} tworzą bazę w (R³, +, R, •) oraz

^V a) znaleźć współrzędne wektorów u= [5,2,-1], v=[l,0,0] względem tej bazy, " b) jaki wektor tej przestrzeni ma współrzędne [2,-1,3] w tej bazie ?

2.    Zbadać czy wektory tworzą bazę w odpowiedniej przestrzeni:

a)    2+x, 3-2x, 3x-l w przestrzeni Ri[x],

b)    x²+3, x-5, x+2 w przestrzeni R₂[x]    '

1 2'

V

c) I, A, A², gdzie A=

2 1

, w przestrzeni M₂(R) macierzy rzeczywistych stopnia 2,

d) { [1,0,2,-1,0], [0,3,1,1,1], [2,3,5,-1,1], [1,3,3,0,11 } w przestrzeni R⁵,

\ e) x⁴+2x²-x, 3x³+x²+x+1, 2x⁴+3x³+5x-x+1_> x +3x +3x +1 w przestrzeni R3M

3. Które z następujących,zbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni R : u A = { (x, y, z); x + y +z = a, a e R}, B = { (x, y, 1); x, y .€ R>

C = { (x,y,z);x • z = 0 },    D= { (x,y,z): 3x + 2y-8z = 0 },

E = {(x, y, z); x+4y=0 i 3x-z=0),

^ 4. Sprawdzić, czy wektor [1,1,3] należy do przestrzeni lin{ [1,2,1], [2,3,-1], [-1,0,5] }.

✓ 5. Spośród wektorów { [3,-6,0], [1,0,1], [3,-4,1], [l,-2,0], [0,-2,-l] } wybrać jeśli to możliwe, bazę przestrzeni R³.

/

^ 6. Znaleźć współrzędne wektora ueR³ w bazie { [1,1,0], [1,0,1], [0,1,1] }, jeżeli w bazie { [1,1,1], [1,1,0], [1,0,0]} ma on współrzędne [3,2,1],

7. Znaleźć współrzędne wektora A=^ *jeM

2x2

w bazie •

^ 8. Znaleźć macierz przejścia z bazy wektorów { [2,1,1], [1,2,1], [1,1,2] } do bazy { [1,0,-1], [1,-1,1].

[0.-1.1] }•

9. Które z następujących podzbiorów przestrzeni liniowej F (R, R) są jej podprzestrzeniami: A={f:f(7) = 2 + f[l)}, B = (f: f(2) = f[7)}

\! 10. Wykazać, że B — {2, x + 3, 2x² + 1} jest bazą w przestrzeni trójmianów nad ciałem R. Znaleźć współrzędne f(x) = x² - x w tej bazie.

^ 11. Wyznaczyć bazy podprzestrzeni z zad. ^ - A (przypisując a= 0), D.

= 0}

12JNiech V = {(xi, x₂, ...,Xn) e Rⁿ : xi + x₂ +,..., +Xq ; \y a) wykazać, że V jest podprzestrzeniąRⁿ, b) znaleźć bazę i wymiar V

13. Jakie są wymiary przestrzeni liniowych generowanych przez funkcje: j a) 3x+4,2x-l, 6x+2, x-5,

b) 1, V2,X+1,X+V2,

. c) X², x²+ V2 X, x²+2, x²+2x+ -Jl

ej