DSC01855 (2)

99.    Wykazać, że wektory £ =[l,l,l], e₂ = [l, 1,2], e₃ =[1,2,3] tworzą bazą prze

strzeni trójwymiarowej, a następnie wyznaczyć współrzędne wektora

a =[6,9,14] w tej bazie.

100.    Wyznaczyć wektor x zrównania:

2a,+3fl₂-a₃—7x = n₄, gdzie:    1 =[-1,2,-3,4],

i =[-l,-1-1,5], a₃ =[2,-5,-1,3],    a_Ą =[2,1,-2,-1]

101.    Rozwiązać układ równań (z niewiadomymi jc, y, z ):

\x +y — i = a\ x —y + z = ai 2x +y +3 z = ai

gdzie:    a, = [0,5,2,l], ai =[2,-3,0,1], aj =[13,-10,3,-2].

-P

Rozdział II

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

§ 1. Układ współrzędnych biegunowych 1. Na płaszczyźnie dana jest półprosta Os (rys. 2.1)

Rys. 2.1

K^r’p)

y

X

Rys. 2.2

(^r'p)

O

s

O

s

Punkt O nazywany biegunem, półprostą Os - osią biegunową, wektor Op

wektorem (promieniem) wodzącym punktu P. Długość wektora C _=r

współrzędną radialną punktu P (współrzędna r jest odległością punktu P od bieguna Oj 0<r<oo). Miarę kąta skierowanego <p (rys. 2.1) (dla P* 0) nazywamy amplitudą punktu P (0 $ <p < 2n). Uporządkowaną parę liczb r, <p nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu P. Każdemu punktowi (poza biegunem O) możemy przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny uporządkowaną parę liczb rzeczywistych r, <p. Biegun O ma współrzędną r — 0, natomiast amplitudą <p jest dowolna liczba rzeczywista z przedziału (.0,2n).

2. Związek między współrzędnymi prostokątnymi kartezjańskimi a współrzędnymi biegunowymi

Jeżeli punkt P ma w układzie współrzędnych kartezjańskich współrzędne (x,y)* a w układzie współrzędnych biegunowych współrzędne (r, tp)

wówczas

65