23619

Ćwiczenia 1 Rachunek wektorowy

1.    Wykazać, że:

rot{axr) = 2a gdzie

a -wektor stały

r -wektor położenia o współrzędnych (x,y,z)

2.    obliczyć:

gdzie |r| jest długością wektora położenia o współrzędnych (x,y,z).

Zadanie rozwiąż we współrzędnych prostokątnych i biegunowych.

3.    udowodnij że: gradient jest prostopadły do powierzcłini ekwipotencjalnej. Innymi słowy wykaż, że grad i <j> 11 <J> = const

4.    udowodnij następujące tożsamości:

•    grad ( PF)= Pgrad (F) + Fgrad (P)

•    div{P A)=Pdiv{A)+Agrad (P)

•    rot( P A)=P rot(A)-AXgrad( P )

•    div[AXB)=BrotiA)—ArotiB)

•    V-iVxA)=o

•    rot (grad (A))=0

•    div(AX B)=Brot ( A)— Arot l B)

5.    Znaleźć funkcję <j>(r) spełniającą równanie:    div [<t>( r )• r] = 0

6.    Rozwinąć operator dywergencji we współrzędnych biegunowych (tylko przypadek dwuwymiarowy).

7.    Czy pole wektorowe opisane równaniem A={ — y²— 2xz)x+(2yz-2xy )y + (y²— x²)z posiada potencjał skalamy? Jeśli tak to należy go wyznaczyć.

8.    Obliczyć strumień wektora położenia r przez powierzchnię, umieszczonego pionowo w środku układu współrzędnych, walca kołowego o promieniu ro i wysokości h.

9.    Zamień całkę objętościową J 9™^ ^1    1'of l A)dv _na powierzchniową