DSCN1095 (2)

7.4.    Ciąg (aj jest określony wzorem a„ = 7"^{+ 3} + 8²" ⁺¹, neN+. Znaleźć największy wspólny dzielnik pierwszych stu wyrazów ciągu (aj.

7.5.    Zbadać, czy istnieją dwie liczby wymierne, nie będące liczbami całkowitymi, takie, że suma tych liczb i suma ich kwadratów są liczbami całkowitymi.

7.6. Wykazać, że jeśli

1 1 1 - + r + - =

a b c

i a + b + c 4=0,

o + b + c

abc ±0, to wśród liczb a, b, c są dwie liczby przeciwne.

7.7. Wykazać, że dla dowolnych a, beR₊ i dowolnego ote(0;l) prawdziwa jest nierówność tf-b¹ < a + b.

7.8.    Bez użycia tablic zbadać, która z liczb jest większa

a)    v^8 + _v/l2 czy _v/76 — ,/ć, b) 2^ czy (^7)Vm

7.9.    a) Wiedząc, że log,_g56 = p obliczyć log₇14,

b)    Wiedząc, że log, ₂72 = ą obliczyć log₅₄24,

c)    Wiedząc, że log,,121 = r obliczyć log₂₇₅6655.

7.10. Wykazać, że:

1    1    1    i

log₂p log₃p    log₄p bjT~r > 3

1 1 1

log₂ (2p)⁺ log₃ (3p)⁺ log₄ (4p) ⁺ ur-jr-; < 3 ®S tJP)

a) jeśli 1 < p ^ 4, to

b) jeśli p > 5, to

c) jeśli p>l, a > 0 i h > 0,

to - (log,a + log/) < log, .

7.11. Znaleźć część całkowitą liczby:

a) log₂5 + log₅512, b) log₀.₂ 0,09 + log_{0 3} 0,04.

7.12. Wykazać, że jeśli ae(l;oo), b > a i k > 0, to log_a6>log. _{+ ł}(6 + k).

7.13. Niech k będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 2. Wykazać, że dla każdego naturalnego n^ k prawdziwa jest nierówność

7.14. Wykazać, że dla każdego x, yeR prawdziwa jest nierówność

7.15. Wykazać, że jeśli 0 < x <    0 < y < to

(x + y)^ł (2 - x — y)² xy "(1—x)(l-y)‘

7.16.    Wykazać, że dla każdego neN+ i każdego xeR prawdziwa jest nierówność

2¹"" ^ (sinx)²" + (cos*)²" < 2°.

7.17.    Wykazać, że jeśli xe(0;-^n), to sin* + tgx > 2x.

7.18.    Wykazać, że dla każdego x, yeR prawdziwa jest nierówność

|sinx — siny| ^ |x — y|.

|a sinx + b cosx| ^ Ja¹ + b².

7.19.    Wykazać, że dla dowolnych a,b,xeR prawdziwa jest nierówność

7.20. Obliczyć bez użycia tablic

, ji 2tt 4*

a)    cos - cos— cos—,

,, Ti 3tc 5ti 7ji

^{b)    C}0sl8^C0S18^C0s_T8^C0Sl8’

. . 7T . 3ic . 5it . In Osm-sm-sm-sm-,

47