28185

Definicja 3. Ciąg (a_n) jest ograniczony z dołu. jeżeli zbiór {a,,} jest ograniczony z dołu. tj. istnieje m € R takie, że dla każdego n € N

a_n > m.

Definicja 4 (ciągu ograniczonego z góry). Ciąg («„) jest ograniczony z góry. jeżeli zbiór {«„} jest ograniczony z góry.

Przykład

Ciąg b_n = jest ograniczony z góry- ograniczeniem górnym jest np. 1.

Definicja 5 (ciągu ograniczonego). Ciąg (a_n) jest ograniczony, jeżeli zbiór {«„} jest ograniczony, tj. ma zarówno ograniczenie dolne jak i górne.

Przykład

Ciąg

n

°n ⁼ o i i

n* + 1

jesi ograniczony. Ograniczeniem dolnym jest np. 0 a ograniczeniem górnym np. 1.

Definicja 6. Ciąg (a_n) jest rosnący, jeżeli

oi < a₂ < a₃ < ..., tzn. dla każdego n € N a_n < a_n+j.

Analogicznie definiujemy ciąg niemalejący:

Definicja 7. Ciąg («„) jest nienudejący. jeżeli

«i < 02 < aą < ..., tzn. dla każdego n € N a„ < a_n+i.

I waga. Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące niemalejące nazywamy monotonicznymi

Pojęcie granicy ciągu

Rozważmy ciąg (a_n) określony przez o„ = Dla dowolnego e > O wszystkie, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby, wyrazy tego ciągu należą do epsilonowego otoczenia zera (O - e,0 + e) dla dowolnego s.

wszystkie z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby — prawie wszystkie.

Definicja 8 (słowne określenie granicy właściwej ciągu). Ciąg (a„) jest zbieżny do granicy właściwej a € R. jeśli w dowolnym moczeniu epsihmowym a znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Pojęcie granicy ciągu— c.d.

Definicja 9 (granicy właściwej ciągu). Ciąg (o„) jest zbieżny do granicy właściwej a € R. co zapisujemy

lim o_n = a,

n—• oo

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego e > O istnieje no € N takie, że dla każdego n naturalnego większego niż no

|a„ - a| < e.

Równość

lim a_n = a

n—oo

często jest zapisywana krócej: limo,, = o lub o„ —»a.

2