Kolokwium z Topo byłe 2 (Wroński lub Krawczyk)

Rząd A

Kolokwium z topologii nr 1 10.04.2011 r.

Każde zadanie warte jest 5 punktów. Życzę powodzenia!

Zadanie 1. Niech odwzorowanie d : R² x R² —► R będzie dane wzorem

d(x, y) = ln(l + \xi-yi\ + \x₂ - 2/2I) •

Proszę uzasadnić, źe d jest metryką oraz narysować kulę K ((1,2), ln 3) .

Zadanie 2. Proszę zbadać zbieżność poniższych ciągów w (R²,dr), gdzie dr - metryka rzeka

Zadanie 3. Niech zbiór A = {{x,y) € R²; x > 3 \y\, 1 < x < 3} C (R², dk), gdzie dk - metryka kolejowa. Proszę narysować ten zbiór, a następnie wyznaczyć jego wnętrze, domknięcie oraz brzeg.

Zadanie 4. Niech odwzorowanie / : (R, | * |) —► R² będzie dane wzorem f(x) = (2,3x). Proszę sprawdzić ciągłość odwzorowania / jeżeli w R² obierzemy metrykę

a) kolejową, t}) rzekę.

Zadanie 5. Proszę udowodnić, że (AHB) c ~A C\~B oraz uzasadnić, że znaku C nie można zastąpić znakiem —.