3 (1691)

Kząd A

Kolokwium z topologii nr 2 23.01.2007

Proszę rozwiązać trzy spośród czterech pierwszych zadań (każde warte 6 punktów) i odpowiedzieć na dwa pytania testowe (każde warte 3 punkty)

Zadanie 1. Niech / : [2,3] —► [2,3] będzie funkcją ciągłą. Proszę pokazać, że / posiada punkt stały. Czy dowolna funkcja g : [2, 3] -4 [2,3] posiada punkt stały? Odpowiedź proszę uzasadnić.

Zadanie 2. Proszę uzasadnić, dlaczego żadne dwie spośród poniższych pod-przestrzeni prostej nie są homeomorficzne

A = Q\{1), B = (0,2) U [4,6],

C={ 1,2,*,*,-,..),    M2,

I ’ ’ 2’ 3’ 4’    /’    1 2 3 4    /

Zadanie 3. Rozpatrzmy przestrzeń (R², d_T) i zbiory

A = {(x,y) 6 R²; 1 < x < 2, -1< y < 3}, B = {(z,y) € R²; 3 < x < 4, -3 < y <

Proszę zbadać, czy A, B są zwarte, zupełne, spójne? Proszę sprawdzić, czy zbiory A i B są homeomorficzne. (dr - metryka rzeka)

Zadanie 4. Niech X = C{[—1,1], R) będzie przestrzenią funkcji ciągłych wyposażoną w normę ||/|| = sup{|/(a:)|; x € [—1,1]}. Rozpatrzmy odwzorowanie F: X —► X określone wzorem

F(f)(x) = \x™ + g cos /(*).

Proszę sprawdzić, czy F posiada punkt stały.

Proszę wpisać TAK lub NIE w miejsce poprzedzające odpowiedzi. Odpowiedź poprawna (1 pkt.), brak odpowiedzi (0 pkt), odpowiedź błędna ^lpkt.)!!

Pytanie I. Jeśli (X,d) jest przestrzenią zwartą zawierającą nieskończenie wiele punktów, to

^a) Istnieje ciąg {zn}^ C X_t który nie jest zbieżny w X. nzzi^b> X może nie być przestrzenią zupełną.

| ~"P*' | c) Z każdego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończenie.

Pytanie II Niech (V, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Wtedy |    | a) Każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

| // | b) Istnieją ciągi zbieżne, które nie są ciągami Cauchy’ego.

| fl/ | c) Każdy ciąg    C Y jest ciągiem Cauch/ego.

Życzymy powodzenia!