383696#08428236491260001702295596R9551I0664107 n

i Rząd A    Kolokwium z topologii nr 1    17.04.2009 r.

Wszystkie zadania warte są 5 pkt. Proszę wybrać tylko cztery zadania do rozwiązania! Zadanie 1. Niech X - R².    (z_a,y₂)) =    - Xi\ + 4|y₂ — l/i|.

\J a") Proszę sprawdzić, że (X.d) jest przestrzenią metryczną.

\Jb) Proszę narysować kulę A'((-l. 2), 2).

' Zadanie 2. Proszę sprawdzić, czy odwzorowanie f : (JR²,d_fc) — (R², d_c). dane wzorem

f(x,y) = (2x- l,iy- 1}

tbi/p

jest łiómeomornzinem. {d_k. d_c oznaczają odpowiednio metrykę kolejową i euklidesową) ^rj> Zadanie 3. a) Proszę podać- definicję funkcji ciągłej / : X —• Y.

Niech f.g : S — R będą funkcjami określonymi wzorami

_tl v ,    , * f 2x — 1 dla ® < 3

/(i) =i+l,    «<*)-|__{I +} 7 dkl>3

Proszę na podstawie definicji zbadać czy powyższe funkcje są ciągle w swoich dziedzinach

Zadanie 4. Niech X = (R².d_r) (tf,. - metryka rzeka(dżungla)).

a)    Proszę zbadać zbieżność ciągów {t^} oraz {6,,} danych wzorami V/

? b) Niech .4 - {(ar, y) e A’; .r > -6, y < —    + 2. y > cc 4- 8}. Proszę wyznaczyć int(A), A, Fr(A)

Zadanie 5. a) Proszę udowodnić tożsamość ....

b)    Czy prawdziwa jest tożsamość ~K(x.r) = K(x,r)

Rząd B    Kolokwium z topologii nr 1    17.04.2009 r.

Wszystkie zadania warte są 5 pkt. Proszę wybrać tylko cztery zadania do rozwiązania! Zadanie 1. Niech X = R², d((zi,yi),(z2*lb)) = 2|x₂ - S|| + J|y2 - Iftl- *

a)    Proszę sprawdzić, że (X. d) jest przestrzenią metryczną,    V

b) Proszę narysować kulę K((3.1).3).    V

—^ Zadanie 2. Proszę sprawdzić, czy odwzorowanie / : (IR². d_T) —* (R.². d_c), dane wzorem

+ 2y + l)

jest homeomorfizmem. [d_T, d_e oznaczają odpowiednio metrykę rzekę(dżutiglę) i euklidesową)

- Zadanie 3. a) Proszę podać definicję funkcji ciągłej f : X —i Y.

Niecli f,g:R — R będą funkcjami określonymi wzorami

. .    . . _ f -i + 2 dlax < -1

J{x)-x 2, g{x) ~ | 2z + 6 dla*>-l.

Proszę na podstawie definicji zbadać czy powyższe funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach

Zadanie 4. Niech A* = (R².d_l:) (dk - metryka kolejowa).

\Ja) Proszę zbadać zbieżność ciągów {(■;„} oraz {b_n} danych wzorami

N' b) Niech A = {(x,y) € X: y > 3x. y < -2. y > 2x - 10}. Proszę wyznaczyć int(A). A, Fr(A)-

Zadanie 5. a) Proszę udowodnić mżsamość ... , b) Czy prawdziwa jest tożsamość K(x,r) — K(x, r)