egz 011, rząd A

Rząd A.

Egzamin z topologii 2011 - czerwiec

W kratce wpisz odpowiedź Tak lub NIE. 2p za poprawną, 0 brak, -1 za błędną, +2 bonus za komplet poprawnych.

Zadanie 1. Niech H </) będzie przestrzenią metryczna. Definiujemy d| : X x X -* R wzorem d\(x,y) = arc tg d(x,y). Wtedy |    | a) di jest metryką w .V;

|    ~| b) p] nie zawsze spełnia warunek trójkąta;

| c) odwzorowanie i: (A’, d) -»(A,d|), i(x) = i, jest homeomorfizmem;

|    ]d) przestrzeń (A, ) może być nieograniczona.

Zadanie 2. Niech / ; X -ł V' będzie homeomorfizmem. Wtedy |    | a) jeżeli X jest zupełna, to Y jest zupełna;

|    1 b) jeżeli Y jest zwarta, to X jest zwarta;

I 1 c) jeżeli A C X jest domknięty, to /(A) jest domknięty w Y;

I 1 d) | spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 3 Niech A|.Aj.... c X będą zbiorami zwartymi. Wtedy I I a) A = U“, Ai jest zbiorem zwartym;

1 I b) B = IX, 4; jest niepusty;

I 1 c) istnieje pokrycie zbioru A = UJ®, Aj, z którego nie można wybrać pokrycia skończonego;

I I d) istnieje pokrycie zbioru B = (X, 4;jy | którego nie można wybrać pokrycia skończonego;.

Zadanie 4. Rozpatrzmy prostą (R, | |) jako przestrzeń metryczną. Oznaczmy K(xn, 'O := {* € R; |i -1₀| <_r}, X(x₀, r) := (z € R; |i - x_fl| < r}.

I    I a)    dla każdego x_n € R, K(x11) i I< (x₀,1);

I    I b)    dla każdego x₀ 6 R , A'(x_n, 1) C K(x₀,1);

I    I c)    z inkluzji /\’(xo,r,) C I\{xn, r₂) wynika, że r,    < r₂;

|    I d)    jeżeli A'(x_lt r,) i /C(x₂, »•,) i | to |x, -    < r,    1 r₂.

Rozwiązania poniższych zadań oddajemy na osobnych kartkach

Zad 5.(8p) Proszę udowodnić, że odcinek [0.1) ze zwykłą metryką jest przestrzenią spójną.

Zad 6.(l0p) Rozpatrzmy płaszczyznę z metryką kolejową oraz rodzinę jej podzbiorów A„ = {(*,!/): (x - i)^J + y² = (i)²}. Proszę zbadać, czy

a)    zbiór B = U*, A„ jest domknięty , zwarty, spójny?

b)    zbiór B zawiera ciąg{l»„)"., zbieżny w B i taki ,że Ł„ / b,„ dla n £ m.

Zad 7.(6p) Proszę podać definicję przestrzeni lokalnie spójnej i przestrzeni spójnej.

Proszę podać przykład

a)    przestrzeni lokalnie spójnej i niespójnej,

b)    przestrzeni spójnej, ale nie lokalnie spójnej.