Egzamin poprawkowy rzÄ…d B

Rząd B.

Egzamin z topologii 2011 - wrzesień

W kratce wpisz odpowiedź Tak lub NIE. 2p za poprawną, 0 brak, -1 za błędną, +2 bonus za komplet poprawnych.

Zadanie 1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczna. Definiujemy di : X x X —> M wzorem d^z. y) = ₂+^x,y)- ^Wtedy [ ZH ^a) j^est metryką w X;

L TH b) di nie zawsze spełnia warunek trójkąta;

|    | c) odwzorowanie i : (X, d) —> (X, di), i(x) = x_t jest homeomorfizmem;

1 d) przestrzeń (X, di) może być ograniczona.

Zadanie 2. Niech / : X —> V będzie homeomorfizmem. Wtedy i~    1 a) jeżeli    Y jest zupełna, to X jest zupełna;

1    1 b) jeżeli    Y jest zwarta, to X jest zwarta;

|    1 c) jeżeli    A C X jest otwarty, to f(A) jest otwarty w    Y;

| d) / spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 3 .Niech B\, £2, C X będą zbiorami zwartymi. Wtedy | a) A — U;li J^est zbiorem zwartym;

|    | b) B = filii Bi jest niepusty;

[~    | c) istnieje pokrycie zbioru A — UILi Bi, z którego nie można wybrać

pokrycia skończonego;

d) istnieje pokrycie zbioru B = fj”₌₁ £*, z którego nie można wybrać pokrycia skończonego;.

Zadanie 4. Rozpatrzmy (X, d) jako przestrzeń metryczną. Oznaczmy K(x₀,r) := {x € X;d(x,x₀) < r}, K(x₀,r) := {x € X:d(x,x₀) < r}.

~~] a) jeżeli K[x\,r\) fi K(x2, r2) ^ 0, to d(x,x0) < n + r2;

|    1 b) dla każdego rco € X , X(xo, 1) C K(x₀,1);

|    | c) z inkluzji K{xq,t{) C X(a;0)^2) wynika, że r_x < 7*2;

|    | d) dla każdego Xq € X, K(xo, 1) = K(x₀,1).

Rozwiązania poniższych zadań oddajemy na osobnych kartkach

Zad 5.(8p) Proszę udowodnić, że odcinek (—1,1] ze zwykłą metryką jest przestrzenią spójną.

Zad 6.(10p) Rozpatrzmy płaszczyznę z metryką rzeka oraz rodzinę jej podzbiorów A_n = {(x.?/) : (x — 1 + ^)² + y² = (^)²}. Proszę zbadać, czy

a)    zbiór B = (J°^i jest domknięty , zwarty, spójny?

b)    zbiór B zawiera ciąg{b_n)^_=l zbieżny w B i taki, że b_n ^ b_m dla n j=- m.

Zad 7.(6p) Proszę podać definicję przestrzeni lokalnie zwartej i przestrzeni zwartej.

Proszę podać przykład przestrzeni lokalnie spójnej i niespójnej,