egzamin czerwiec 11

Egzamin z MPiS 10.06.2011 godzina 8:00

Część zadaniowa

Zad.l(5p) Informacje przekazuje się za pomocą telegrafu, nadającego, z równymi prawdopodobieństwami, sygnał kropka i kreska. Statystyczne właściwości zakłóceń są takie, że średnio 2/5 sygnałów kropka i 1/2 sygnałów kreska zostaje zniekształconych (kropka na kreskę i odwrotnie). Obliczyć prawdopodobieństwo, że odebrane sygnały kropka i kreska w rzeczywistości były' też nadane odpowiednio jako kropka i kreska.

Zad.2 (5p) Czy funkcja p(x) określona wzorem

p(x) = {

0.5 sin(x) dla 0 < x < n 0 dla pozostałych x

jest gętością prawdopodobieństwa? Jeśli tak, to obliczyć: a) dystrybuantę, b) P(0 < X< 0.5n), c) wartość średnią i wariancję

Zad. 3 (5p) Zmienna losowa X podlega rozkładowi

pO) = {

2 exp(-2x) dla x > 0 0 dla x < 0

Wyznaczyć rozkład zmiennej losow-ej Y = X²

Zad.4 (5p) Zmienna losowa (X, Z) podlega rozkładowi o gęstości

p(_x,_y) ₌ dla 0<x<2,0<y<2 (    0 dla pozostałych (x,y)

a) zbadać czy zmienne losowe Aj i Z są niezależne, b) wyznaczyć rozkłady warunkowe, c) obliczyć dystrybuantę F(.v,>'), d) obliczyć współczynnik korelacji, e) obliczyć prawdopodobieństwo, że punkt losowy (X, Y) znajdzie się w kwadracie 0<.v<l, 0<y< 1

Część teoretyczna (na oddzielnych kartkach)

1.    Podaj i opisz twierdzenie Bayesa dla zdarzeń losowych (3p)

2.    Podaj definicję i opisz właściwości dystrybuanty zmiennej losowej (5p)

3.    Podaj definicję i opisz wzory do obliczenia momentu centralnego rzędu k zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej (3p)

4.    Wymień i opisz właściwości estymatorów (4p)

5.    Udowodnij nierówność Markowa (5p)