Ebook

14 Rozdział 1. Przegląd funkcji elementarnych

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór (—00, Jj) U

(i. i) -

PRZYKŁAD 8. Rozwiązać nierówność (2x² — 3x — 8)(2x² — 3x — 6) < 3. ROZWIĄZANIE.

Aby rozwiązać tę nierówność, zastosujemy podstawienie t = 2x² — 3x — 8. Wtedy otrzymujemy nierówność t(t + 2) < 3. Stąd t² + 2t — 3 < 0. Nierówność ta jest równoważna układowi t > — 3 i t < 1. Zatem

-3 < 2x² - 3x - 8 < 1.

Stąd otrzymujemy układ nierówności

j 2x² — 3x — 9 < 0 | 2x² — 3x — 5 > 0.

Po rozwiązaniu uzyskujemy x G (—§,3) Pi [(—od, — 1) U (§,+00)] .

Zatem x G (—— l) U (|, 3).

1.2 Funkcje wymierne

Definicja 1.4. Niech W i G będą wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Funkcję określoną wzorem f(x) =    nazywamy funkcją wy

mierną.

Dziedziną funkcji f(x) jest zbiór R\A, gdzie A jest zbiorem miejsc zerowycłi funkcji G(x), tzn. A = {x G R : G(x) = 0}.

Definicja 1.5. Funkcję wymierną określoną wzorem f(x) =    gdzie

a, b, c, d E R, c 0 oraz ad — bc 7^ 0, nazywamy funkcją homograficzną.

Definicja 1.6. Funkcję wymierną postaci f(x) =    gdzie n G N oraz

A, k, l G R, k 7^ 0, nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Definicja 1.7. Funkcję wymierną postaci f(x) = _{-Jrf^_c)n, gdzie 0, B² + C² > 0, b² - 4ac < 0 oraz n G N, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

12. Funkcje wymienić

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej postaci y^yj > 0 ^ yj^ < (P korzystamy z tego, że jest ona równoważna nierówności W(x)G(x) > 0 (iy(x)G(a:) < 0). Nierówność    ^ 0 jest równoważna alternatywie

W(*)G(x) > 0 V W(x) = 0.

PRZYKŁAD 9. Rozwiązać równanie

1    4 x² + 10x    4x² + 21

x³ — x² + x — 1 x + l x⁴ — 1 x³ + x² + x + 1

UOZWIĄZANIE.

Rozkładamy na czynniki każdy wielomian występujący w mianowniku i oti /,y mujemy

1    4    x² + 10£    4x² + 21

(x² + 1)(£— 1)    £+1    (£² + 1)(£ — l)(x + 1)    (£² + l)(x + 1)V .

Dziedziną tego równania jest zbiór D = R \ { —1,1}. Po pomnożeniu obydwóch stron powyższego równania przez (x² + 1)(£ — 1)(£ -t- 1) otrzymujemy równanie

£ + 1 — 4(£ — 1)(£² + 1) = £² *f 10£ — (4£² + 21)(£ — 1).

Stąd po przekształceniach mamy (x — 4)² = 0, czyli x = 4. Ponieważ 4 6 D₎ więc rozwiązaniem równania (1.1) jest x = 4.

PRZYKŁAD 10. Rozwiązać nierówność

(1.2)

5x + 6 £ — 1

UOZWIĄZANIE.

Dziedziną nierówności (1.2) jest zbiór Z) = R \ {1}. Na podstawie własności wartości bezwzględnej nierówność ta jest równoważna układowi

Stąd po przekształceniach mamy

£ - 1