Ebook
8

24 Rozdział I. Przegląd funkcji elementarnych

natomiast w drugim przypadku mamy

24 Rozdział I. Przegląd funkcji elementarnych

(

x² — 8x + 12 ^ 0 x - 1 ^ 0

x² - 8x + 12 > (x — l)²

x G (-oo,2) U |G, -t-oo) x G (1, +oo)

Ig (-oo,#).

Po uwzględnieniu obydwu przypadków otrzymujemy x € (—oo, I) lub x 6 [!,#)■ Stąd zg (-00,#).

PRZYKŁAD 17. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

ROZWIĄZANIE.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji /(ar), należy rozwiązać następujący układ nierówności

x - 2 i- O

lGx — x^,ł > 0.

Stąd

f x/2

Z O

x(16 — ar²) > O

(x - \)(x-2) >0 V x = 1 x(4 - x)(4 + x) > 0.

Po prostych rachunkach mamy

x / 2

x G (-oo, 1] U (2, +oc) x G (—oo, -4) U (0,4).

Zatem dziedziną funkcji f{x) jest zbiór 1) = (-oo, —4) U (O, lj U (2,4). '

PRZYKŁAD 18. Rozwiązać równanie log,,(2ar 4- 3) • log_z2 — 1. ROZWIĄZANIE.

Wyznaczamy dziedzinę równania. W tym celu rozwiązujemy układ nierówności

2x + 3 > O x > O

x / 1.

otrzymujemy, że D - (0,1) u(l,+oo).

Korzystając kolejno ze wzoru na zamianę podstawy logaryhnu (1.9) oraz tyliiftiiuści (1.8), (1.14), mamy

|    !og₄(2x + 3) •    = 1,

log., x

log., (2* + 3) • - = log., x, log.,(2x + 3) - log,,

2x + 3 = x², x = -1 lub x = 3.

Zatem uwzględniając dziedzinę równania, otrzymujemy, że rozwiązaniem jtadaiicgo równania jest x 3.

•    ll/.YKLAD 1!) Rozwiązać nierówność logi (log₄(x² -8)) ^ 0.

•    " OWIĄZANIE.

M wyznaczyć dziedzinę nierówności, rozwiązujemy układ nierówności

( x² - 8 > 0 \ logi (z² - 8) > 0.

|Qn wystając z własności (1.18) oraz (1 l(>), dostajemy

x² - 8 > 0

log₄(z² - 8) > log,, 1,

x² - 8 > 0 x² - 8 > 1.

• ,d otrzymujemy

x € (-oo, -2\/2) U (2v/2, +oo) x ę (-oo, -3) U (3, +oo).

i dziedziną nierówności jest zbiói D ■= (—oo, — 3) U (3, -t-oo).