Ebook2

32 Rozdział 1. Przegląd funkcji elementarnych

ROZWIĄZANIE.

a) Mamy znaleźć y = aresin ( - 5), gdzie y G [-5.5] Na podstawie określenia funkcji arcus sinus otrzymujemy sin y — — .J i y G [— 5 > 3] *

y = -l    I

1>) Mamy znaleźć y arccos ^ j, gdzie y G (0, tt]. Na podstawie określenia funkcji arcus cosinus mamy cosy — ^ i y € [0,tt]. Zatem y —

<•) Mamy znaleźć y aretg X₍V gdzie y G (~5* f )• Na podstawie określeni! funkcji arcus tangens otrzymujemy tgy — ^-^ł i y G (—|, 3). Zatem y = d) Mamy znaleźć y arcctgl, gdzie y G (0,7r). Na podstawie określenia funkcji arcus cotangens mamy ctgy 1 i y G (0,7r). Zatem y

PRZYKŁAD 23. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) — aresin ROZWIĄZANIE.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji, należy rozwiązać układ nierówności

czyli

x*-\ Łzl > _ I

Stąd

X / — 1

_<0

xii

X / -1

x + 1 > 0

2x(i + 1) > 0 V .t = 0.

Po prostych rachunkach otrzymujemy układ nierówności postaci

x ^ -1 3: > -1

3: G (-00, -1) U [0, -ł-oo).

Zatem dziedziną funkcji f(x) jest zbiór I) — |(),+00).

PRZYKŁAD 24. Wyznaczyć dziedzinę funkcji /(:r) = In ( ,^ — arccos a;).

I ft Funkcje cyklomctrycsnc M()'/WIĄZANIE.

Alty wyznaczyć dziedzinę funkcji, należy rozwiązać układ nierówności

-1 < x 1 2 — arccos x > 0.

I 'nińcważ arccosO    ~ ^oniz nreus cosinus jest funkcją malejącą, więc

i • /lymujciny

-1 ^ x ^ 1 arccosx < arccosO

'■ ( -1 ^ a: ^ 1 | arccos a: < J

Zn(< •ni dziedziną funkcji /(x) jest zbiór I) (0, I)

i H/YKI-AI) ‘25. Naszkicować wykresy funkcji:

«) /(-O ⁸³ tg (arctgx),

¹ <)//(•' ) aretg (tgx).

IH )ZWI/\ZANIE.

ul Dziedziną funkcji /(x) - tg (arctgx) jest zbiór Df — R. W tedy f(x) tg (aretgx) = x dla x <5 K.