Ebook
9

40 nozanat i. rrzcgiga juwtdjt elementarnych

Rozwiązujemy teraz nierówność logj (log,,(x² -8)) ^ 0. Wykorzystując własności (1.13) oraz (].15), mamy

log$ (log₄(x² -8)) ^ logj 1,

log₄(x² - 8) < 1.

Na podstawie własności (I.1'2) oraz (I IG) otrzymujemy

logi (z² - 8) ^ log,, 4,

x² - 8    4,

x €

-2>/3,2v^/3] .

Uwzględniając dziedzinę, otrzymujemy rozwiązanie badanej nierówności

x €

-2\/3,-3)u(3,2v/3].

PRZYKŁAD 20. Rozwiązać nierówność

In (2^T - 2) + In (2¹ - 4) + In (2* + 6) ^ In (8 • 2^X + 48).

ROZWIĄZANIE.

Aby wyznaczyć dziedzinę nierówności, rozwiązujemy układ nierówności

12* — 2 > 0 2* - 4 > 0 2^Z + 6 > 0 8 • 2* + 48 > 0.

Uwzględniając własność (1.10) oraz pamiętając, że funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie, otrzymujemy

x > 1 - x > 2 x € R.

Zatem dziedziną nierówności jest zbiór D = (2, -f oo).

Wykorzystując własności (1.6) oraz (1.16), mamy kolejno

In (2* - 2) + In (2^X - 4) + In (2^X + 6) * ln 8 + ln (2^X + 6),

ln (2* — 2) + In (2^X - 4) > In 8,

In ((2*-2) (2^x-4))^ln8,

(2* - 2) (2^X - 4) ^ 8.

I'odstawiając 2^X    = t, otrzymujemy nierówność (t — 2)(t — 4)    » H,

MórąJ rozwiązaniem    jest t ^ 0 V t ^ 6. Ze względu na to, że    2'    t

mamy 2^J < 0 V 2^X ^ fi. Ponieważ V_xCx2^x > 0, więc pierwsza nierówność ■> \ typująca w alternatywie jest sprzeczna. Po uwzględnieniu rozwiązania długiej nierówności oraz dziedziny rozważanej nierówności otrzymujemy, że #< |log₂6, +00).

1'UZYKl.AD 21. Rozwiązać nierówność ln² x > I HO/WIĄZANIK

I' łledziną nierówności jest zbiór I) — (0, -foo).

Podstawiamy Ina: t i otrzymujemy

t² > 1 <=» (t - 1)(/ + 1) > 0    > t < -1 V Ł > 1.

Wykorzystując własności (1.11), (1.12) i (1 10), mamy

Ina: < — I V Ina: > 1, lnx < lnc^-1 V Ina: > Inc, x < l V x > e.

Uwzględniając, że dziedziną nierówności jest zbiór D — (0, -foo), dostajemy rozwiązanie x € (0, j.) U (c, -foo).

1.5 Funkcje cyk lornet rycznc

hmkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych obciętych do odpowiednich zbiorów, to funkcje, cyklomctrycznc (kołowe). Można je określić jednoznacznie tylko w tych przedziałach, w których funkcje trygonometryczne są