Ebook8

40_Hozdiiat 2. Ciągi liczbowii

ROZWIĄZANIE.

a)    Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej, pokażemy najpierw, /.<■ at, > -1 dla n = 1,2,...

1° Dla Ho = 1 mamy ai = 3 > — 1.

2° Zuk hulamy, że dla dowolnego k ^ 1 zachodzi nierówność o* > — 1.

Udowodnimy, że Ofc+i > — I.

Dowód:

1 . . 1 2 »1 2

M = 7jK- - 2) =    ~ - >    - - = “I

Z 1°, 2° i na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że nierówność «„ > —1 jest spełniona dla ti = 1,2,... Oznacza to, że ciąg jest ograniczony z dołu przez liczbę —1.

Zbadiuny teraz monotoniczność ciągu. Mamy

1 2 2 ~ j(on 2)    o,, ^k -a_u

ponieważ «„ >1. Stąd wynika, że ciąg («„) jest malejący.

Zatem wyraz nj .'i jest największym wyrazem rozważanego ciągu, czyli ciąg ten jest ograniczony z góry przez liczbę 3. Ciąg («,,) jest malejący i ograniczony, a więc na podstawie Twierdzenia 2A wnioskujemy, że ciąg ten jest zbieżny do granicy właściwej.

Obliczymy teraz granicę ciągu (a„). Oznaczmy granicę ciągu (<t„) przez g. Niech (a,»+i) będzie ciągiem powstałym z ciągu (a„) przez opuszczenie wyrazu (i\■ Wtedy z Twierdzenia 2.2 otrzymujemy, że ciąg (a_n+i) też jest zbieżny do g. Biorąc pod uwagę, że a_n+i .'(a,, — 2) oraz przytoczone powyżej fakty, mamy

9 y((l ~ ’²)    .<? = -!•

Zatem granicą rozważanego ciągu jest liczba —1.

b)    Korzystają z zasady indukcji matematycznej, można łatwo pokazać, że ciąg (b„) jest ograniczony, mianowicie

V_neN v/2 < b_n < 2.

Ciąg (6„) jest ciągiem monofonicznym. Aby to pokazać, wystarczy fu*ważyć nierówność 6„ < 6_n+i. Wtedy

b,_t < \/2 + 6„    <=> b²u - 6_m - 2 < U <=>    -1 < 6„ < 2.

/ i ildu, że ciąg (6„) jest ograniczony, wy ni kii, że ostatnia nierówność j<*.st li" lillonn. Zatem (6„) jest ciągiem rosin^cym.

Nu podstawie Twierdzenia 2A otrzymujemy, że ciąg (6„) ma granicę ¹ Iwą, oznaczmj ją przez g. Niech (6_rł|l) będzie ciągiem powstałym I • 1'iK'i (6„) przez opuszczenie wyrazu 6|. Wtedy z Twierdzenia 2.2 uzysku Jemy, że ciąg (6„> i) też jest. zbieżny do g. Zatem liczba g spełnia równanie

u * \/2 t g ■£==> g² — g — 2 = 0    <=>    # = — i v g = 2.

i "ouieważ granica ciągu (6„) nic może być ujemna, więc granicą rozważa*

•    •• • u ciągu jest liczba 2.

•    •• lerdzonie 2..^r>. Cię// («„) jest zbieżny do granicy właściwej wtedy i tylko Winty, gdy spiłnia warunek Cauehy 'ego, tzn.

0 3^-cN Vn»,n€N |u,i — &m | < m.n >fc

Warunek Caucliy’ego rozstrzyga, czy ciąg liczbowy jest zbieżny do gra llh \ właściwej w R, ale nie wskazuje jego granicy. Może być stosowany do " u adniania rozbieżności ciągów.

i H/YKI.AI) (j. Opierając się na warunku Cauehy'ego zbieżności ciągu, wykląć, ze ciąg o wyrazie ogólnym a_n jj jest zbieżny do granicy właściwej.

IK OWIĄZANIE.

Koi/yslając z warunku Cauehy'ego z Twierdzenia 2.5, mamy

(n„) Jest zbieżny do granicy właściwej <=> V,_>0 3*_gn V_m.ncN

m.n>*

2

n

m

< f.

Załóżmy, że e jest dowolną liczbą dodatnią. Niech m,n, k będą dowolnym! liczbami naturalnymi takimi, że A: > ², m > k oraz n > k. Wtedy