Ebook6

42 li oni III I 2. Ciągi liczbowi

Ponieważ

więc

V„<EN V¹ > 1 i V„_eN b_n > 0, ^nCN l>n +1 > bn-

Oznacza to, że ciąg (b_n) jest rosnący.

2.2 Granica ciągu liczbowego

Przedstawimy ważniejsze definicje i twierdzenia dotyczące granicy ciągu, które będą potrzebne w dalszej części rozdziału.

Definicja 2.5. Przedział (zo - e, aro + e) nazywamy otoczeniem punktu xq o promieniu e > 0 i oznaczamy symbolem 0(x₍₎.f).

Definicja 2.0. Zbiór (:r₍₎ f,xo)U(j:o.®o I c) nazywamy sąsiedztwem punktu i<) o promieniu e > 0 i oznaczamy symbolem S(xo,e).

Definicja 2.7. Liczbę a będziemy nazywać granicą właściwą ciągu («„) (piszemy lirn a_n = a), jeżeli jest spełniony warunek

II—*00

Vr>o ³'»oCN V ncN |a„ - a\ < €

n>n₀

(tzn. w każdym otoczeniu liczby a znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu).

Definicja 2.8. Będziemy mówić, że ciąg («») ma granicę niewłaściwą równą

f co (piszemy lim a_n -foo). jeżeli jest spełniony warunek

«—oo

V<»>0 3„_o€N V nfH «H > Ot-

n>n o

Definicja 2.9. Mówimy, że ciąg («„) ma granicę niewłaściwą równą -oo (piszemy lim a_n — -oo), jeżeli jest spełniony warunek

M—*00

V/J<0 3„₀€N V ntN On < P-

n > "o

PRZYKŁAD 3. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać, że

*> „li™ = l

l») lim log_n+2 4 = 0,

II—*00

o) lim \/2n -f 4 = -ł oc, d) 'lim (-5 • 3ⁿ + 2) = -oo.

n-*oo

ROZWIĄZANIE.

a) Korzystając z Definicji 2.7, pokażemy, że lim

Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią. Należy znaleźć liczbę fio € N • nią, że dla każdego n > no (n € N) spełniona będzie nierówność

Zauważmy, że

3n - 2    1

6 72 + 12

3n - 2	1|	Gri — 4 — 6n — 1		-5	5
6n 1 1	2|	2(6n+ 1)		2(6n + 1)	12n + 2’

< c <==> n >

- 2e

12n + 2    ...... 12e

ulom za rio można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą W* ^L iczbę r#o można wyrazić wzorem

J 1    dla £ > Ą

1 m <•>* °<^e<n.

misie [o| oznacza część całkowitą liczby u.

Stąd wynika, że lim *77+? = i.

n—00    *

h) Koizyslając z Definicji 2.7. pokażemy, że lim log,..o ⁴ = 0.

TI-«00

Niech r będzie dowolną liczbą dodatnią. Należy znaleźć liczbę no i N hłką, że dla każdego n > iiq (n G N) spełniona będzie nierówność

|^,0S»»+2⁴ “ °| < ^c-

Zauważmy, że

|^,0Kn>2⁴| “ l°gn+2⁴ < ^{e <=}=> 4 < (n + 2)^e <=> n > 4« — 2.