Ebook4

58 Hotdtiał 2. Ciągi liczbowe

<0

v/3n² - 5n + 1 - 3ri    V³“" ⁺ ^”³    >/5 - 3

lim -----= hm -f-= —-—.

n—oo    4 n + 5    n—oo    4 -f 2    4

'1)

lim (\/'Iw² — (iii + 7 - 4n) = lim n [ \/4--+ —* — 4 | = —oo.

n-*oo \    /    n—oo l y    U    11^Ł    I

e) Korzystamy zc wzoru a - b = lim ^ v/27n^;< -f 4ri² — 5n — 3n^ =

lim

4n² - 5n

⁵⁰ ( v^27u³ 4- 4w² - 57t^ -f 3n \f21iv‘ + 4rt² - 5m + 9n²

lim

* - E    , 4

²⁷

f) Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej naturalnej ii występującej w mianowniku ułamka, czyli przez n i otrzymujemy

,_m y/ 2rś + "jW⁵ -'ą.t* + n    \j²⁺fa-& + Ź _ ^2

- fas + v^=W7i —

PRZYKŁAD 15. Obliczyć granice:

“)

c) Jir^arctg (^)

ROZWIĄZANIE.

Przy obliczaniu granic z podpunktów a) i l>) korzystamy z własności loga-rytmu i otrzymujemy

»)

lim

log₄(7u + 3) _ log.,(7n + 3)    ,    1

» log^ (7n + 3) ” J3Ł >ogj(7np ⁼ n-^oo ‘°^g« 2

1

2*

I*)

lim

n-*oo

27^luK;» »

lC^,OR3 ”

lim

■■

3'» l«>K3 « 2‘\ log_a n

lim

n—oo

2^,0Ka

n^J

MIII r

n—*oo Tł.

lim ¹ - 0.

n-*oo f»

c) Przy wyznaczaniu granicy korzystamy z własności funkcji arcus tangenn

lim arctg

łl—*oo

lim arctg

M—*00

1'RZYKł.AD Ki. Wyznaczyć parametry a i b tak, aby zachodziła podana równość:

» ..    (a-3)n*4-6ii^J    f4n    _r

•0 ^{lim 1}    7_t.    _ »|!I--».

n-»oo ¹ ' "

wjisłM "=^c4-«) lim ń/tt" + 2" + e" + «'• + 6” = 5, gdzie «,/> > 0.

ROZWIĄZANIE.

ii) Podana granica istnieje, gdy a = 3. ponieważ tego typu ciłjg ma granicy właściwy wtedy, gdy w liczniku i w mianowniku występuje; u w tej samej potędze. Dla a = 3 mamy lim    = >^r» Po podzieleniu licznika i mia

nownika przez n^,J wyliczamy 6

.. bit³ + 4 n lim -=-3- = 5

>t—• 00 7n — n^J

6 +

lun

- 1

<=> /> = -!

Zatem badana granica istnieje, gdy « — 3 i b - -5.