4 (1737)

58 Rozdział 4- Ciągi i szeregi Ą.l. Ciągi liczbowe i ich granU

Twierdzenie 4.10. Granica ciągu jest jedyna, tzn. jeśli a_n —» a oraz a_n ->a', to a — a!.

Dowód. Załóżmy, że a / a'. Ze zbieżności a_n —> a dla e = ^\a — a'\ wynika, że istnieje M takie, że dla n > M mamy \a_n - a\ < j|a - a'\. Podobnie ze zbieżnością a_n —> a' również dla e =    — a'\ istnieje M* takie, że dla n > M

mamy \a_n - a¹ \ < ±\a - a'\. Zatem dla n > max {M, M'} zachodzą następujące nierówności:

\a — a'\ ^ |a — a_n\ + \a — a_n\ < a — a | +    ^— a I ⁼ jjl^0, ~' ^a I)

co daje sprzeczność, czyli a~ a!.    H

Niekiedy ważną dla nas informacją jest, czy ciąg jest zbieżny (tzn. zbieżny do pewnej granicy).

Definicja 4.11. Ciąg {a_n)%Li nazywamy ciągiem Cauchy’ego¹ wtedy i tylko wtedy, gdy:

(4.3)    V_e>()    Vn,m>M \&n    &m| ^

Twierdzenie 4.12. Jeżeli ciąg (a_n)™_=l C M jest zbieżny, to jest ciągiem Cau-chy ’ego.

Dowód. Weźmy dowolne £ > 0. Ciąg (<2™)^! jest zbieżny, tzn. mamy a €l takie, że spełniony jest warunek (4.1). Zgodnie z definicją istnieje M € M takie, że dla dowolnej liczby naturalnej n > M mamy \a_n — a\ < §. Aby pokazać warunek (4.3), dobieramy M takie, jakie otrzymaliśmy, stosując definicję 4.4. Wtedy, jeśli n, m > M, to

\a,_n — a_m\ — |a_n — a + a — a_m| ^ \a_n — u| + \a — a_m| < 2 T 2 ^— co należało dowieść.

Jeżeli ciąg (a_n)^L| jest ciągiem liczb rzeczywistych, to zachodzi twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 4.13. Ciąg {a_n)n=i C K jest zbieżny, jeżeli jest ciągiem Cau-chy 'ego.

Jeżeli dla każdego ciągu za¹ ga zbieżność ciągu, to mówimy twierdzenie 4.13 mówi, że zbió Zbiór liczb wymiernych ni< liczb wymiernych, który spełr w zbiorze liczb wymiernych. nia liczby 7r, tzn. a\ = 3, a₂ = Wtedy ciąg a,_n nie jest zbieżm jako ciąg liczb rzeczywistych 1: granice, bo 7r ^ Q. Byłoby to i zauważyć, że ciąg a_n spełnia v

Twierdzenie 4.14 (zbieżno

b_n —> b 6 M oraz niech X £ IR.

(1)    a_n + b_n —► a -f- b,

(2)    Aa_n —> Xa,

(3)    a_nb_n-> a b,

(4) jeśli ponadto b ^ 0, to f

Dowód. Dla przykładu poka: dowolne e > 0. Pokażemy, że

3MeRV_n>ji

•

Zastosujmy definicję zbieżnoś M\ takie, że dla n > M\ zacl n > M₂ zachodzi |b_n — 6| < | mamy n > M\ oraz n > M₂. \

I ifln T 5_n) (a -(-1

W ten sposób udowodniona z< Aby udowodnić własność ( definicję zbieżności ciągu b_n -Istnieje wtedy M\ takie, że dl

IM = |b- (b-b

1

Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matematyk francuski; ugruntował podstawy analizy matematycznej, uściślił pojęcie granicy i ciągłości, zajmował się również teorią funkcji analitycznych i równań różniczkowych.