8 (1176)

62 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4- 1. Ciągi liczbowe i ich g

Przykład 4.22. Aby zilustrować twierdzenie 4.21, zbadajmy zbieżność ciągu u_n = ⁿn^s^^^!. Z własności funkcji sinus wiemy, że — 1 ^ sinn! < 1. Zatem

TPJT <    ^ n^+\ - ^Ci^g ri?+T ⁼ TT^^- J^{est zbieżn}y ^do podobnie jak ciąg

ć. =    Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg u_n —>0.

Tl i    1 H--7J

Interesujące jest kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 4.23. Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny. Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.

Przeprowadzenie dowodu powyższego twierdzenia nie jest trudne i polega na wykazani^, że nie tylko ciąg (an_k)kL\ jest zbieżny do pewnej granicy a, co wynika z twierdzenia 4.19, ale również cały ciąg (a_n)5JLj jest do niej zbieżny.

Przykład 4.24. Pokażemy, że ciąg a_n = (l + 4)ⁿ jest ciągiem zbieżnym. Na podstawie twierdzenia 4.23 wystarczy pokazać, że jest on rosnący i ograniczony od góry.

Zastosujmy nierówność Bernoulliego (twierdzenie 3.13) dla x = — Wtedy dla n ^ 2:

=    + ł)“-

Zatem

Zatem ciąg (l + 4)ⁿ jakc Istnieje więc liczba rzecz; definicji wprowadzone zos

Definicja 4.25. e = lim

n—>cx

Wartość liczby e, któ 2,718281828459. W przyk wyznaczyć to przybliżenie Na początku rozdział¹ by rzeczywistej. Znaczyło zadanej liczby. Poznajmy

Definicja 4.26.    (1) M<

i piszemy

(4.5)    lim a_n

n—> oo

(2) Mówimy, że ciąg (a. (4.6)    lim a_n

n—> oo

a+ir > (i - W~^B=(^r^(n_1) = (w)""¹ = (i+a)""¹.

czyli ciąg (l + 4)ⁿ jest rosnący. Pokażemy, że ciąg ten jest ograniczony od góry:

(4.4)

(i + i)"<⁸-

W tym celu zastosujemy wzór Newtona:

n 1 n(n — 1)    1 n(n — l)(n — 2)    1    n(n — l)(n — 2) • • • 1 1

= ! + -•-+ --- • — + ■ : ---------• — + ••• +

1 n

1-2 w

1-2-3

1 • 2

<i ₊ i ₊ A+ ¹

1-2-3

+----h

1

1 -2-3---n 1 -2-3---n

1-2    1-2-3

= 1 +    = 1 + 2(1 - ^) < 3

1.2-3---n ^{<1 + 1+}5 ⁺ ^ ⁺ '"⁺2^

Analitycznie definicja nie zadanej liczby K wszy się w przedziale (K, +oc)

Przykład 4.27. Ciągar zbieżnymi do — oo są —n' Uzasadnijmy, że lirr

n—>+

to bierzemy M = 0. Wt< to bierzemy M — y/K. J (4.5) dla ciągu n².

Teraz przekonamy się dla n ^ 2 mamy:

i

Warunek —    < K jest

dla n > M — —AK mam; ciągu został spełniony.