1935182608

19

0.3. CIĄGI LICZBOWE

Dowod. Pokażemy punkt (1), zakładając zbieżność ciągu a_n. Niech 0 < e € K, będzie dowolnę liczbą rzeczywistą dodatnią, to isnieje no G N taka, że n> no to |a„ — g\ < e. Wtedy mamy

| n I | n    n

_.|EL o.j ₊ |Er=n₀+i(^Qn-g)| _< | ££, Qj | ₊ (" ~ no)e

_|EL^ai| , n-no

n    n

Przechodząc do granicy mamy

EL a_n

0 < lim    — g\ < lim

1EL Qj| n — np n    n

e = 0 + e = e,

co kończy dowód części pierwszej, bo e > 0 było dowolne. Drugą część twierdzenia dowodzi się analogicznie. ■

Twierdzenie 0.3.9 Mamy dwa następujące zdania:

1.    Jeśli lim a_n+i — a_n = g, to lim ^ = g.

2.    Jeśli a_n> 0 i lim = g, to lim tfd_n = g.

Dowod. Jeśli spełnione jest założenie (1), to biorąc b„ — a_n — a_n_i dla n > 1 oraz bi — a\ i ao = 0 to wtedy z założenia lim b_n = g więc z poprzedniego Twierdzenia mamy:

dla n > 1 oraz c\ = a\. To wtedy

E"=l ^a‘ ~ ^Q<-1

n-*oo n    n-»oo    n

Podobnie dowodzimy drugiego punktu (2), biorąc za Cn = lim (^ = g, męc z poprzedniego twierdzenia mamy co kończy dowód. ■

Przykład 0.3.6 Niech a_n — </n, to jeśli b_n — n dla n G N to wtedy lim = 1, więc z poprzedniego twierdzenia mamy lim a_n — 1, czyli

lim \/n — 1.