PC043384

1.6. Przegląd funkcji elementarnych

W te j części podręcznika przedstawimy własności poznanych w szkole średak funkcji elementarnych. W szczególności obszernie omówimy funkcję liniom i kwadratową. Ponadto wprowadzimy pojęcie funkcji cyklometiycznycteH z ich podstawowymi własnościami. Zajmiemy się też metodami rozwiązywać wybranych równań i nierówności związanych z omawianymi funkcjami. 1

1.6.1. Funkcja liniowa

Definicja 1.64. Funkcją liniową zmiennej xnazywamy funkcję określoną wzorem:

f(x)=ax+b,    (1.7)

gdaerz^R.

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Jej wykresem j6i prosta, której równanie można zapisać w postaci y=ax + b dla xe R i a,bęł (por. podrozdz. 1.3.2). Przypomnijmy, że stalą a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, natomiast stałą b wyrazem wolnym. Współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej y - ax+b do dodatniej półosi Ox,tm.a=tga. Wykres funkcji (1.7) przecina oś Oy w punkcie o współ-rzędnych (0,b) (por. ilustracje 1.35-1.37).

Własności funkcji liniowej zależą od znaku współczynników u i b. ą

Miejsca zerowe

-    Dla a * 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe x₀ =-~ (por. ilustracje! 1.35 i 136).

-    Dla a=0 i b * 0 funkcja nie ma miejsc zerowych (por. ilustracja 136). |j

-    Dla a = 0 i b = 0 zbiór miejsc zerowych stanowią wszystkie liczby rzeczywiste.

Monotoniczność. Wartości dodatnie i ujemne

a) Dlaa >0 funkcja jest rosnąca. Jednocześnie przyjmuje wartości dodatniedji xe (-7,®) oraz wartości ujemne dla xe f-®,—7) (por. ilustracja 1.35). |

Ilustracja 1.35. Wykres funkcji liniowej dta a > 0

b) Dla a < O funkcja liniowa jest malejąca. Przyjmuje wartości dodatnie dla oraz wartości ujemne dla j:e (--^^x>) ,(por. ilustracja 136).

Ilustracja 1.36. Wykres funkcji liniowej dla a < 0