Macierze i wyznaczniki4

70

Macierze i wyznaczniki

Natomiast w drugim przypadku, gdy a = —d, otrzymamy zależność bc— 1 — o². Wtedy

dla 6=0 mamy a — 1 lub a = —1, przy czym c jest dowolne. Jeżeli jednak 6 yt 0, to

2

_c = —. Macierz X jest więc w tym przypadku odpowiednio postaci

\^1 °1		O 7		a 6
c -1	5	c 1	ł	1 - a^2 L 6 ^aJ

Zatem rozwiązaniem równania są tylko macierze X postaci

[i ol		[-i ol		a b		[ 1 ol		■-1 o'
c -1	5	C 1	j	1 - a^2 L 6 ^aJ	’	0 1	ł	0 1

gdzie a.b.c e C, b ^ 0.

• Przyll|aęj| 3.6

Korzystając z własności działań z macierzami oraz własności operacji transpono-wania macierzy uzasadnić podane tożsamości:

a)    (A - B)^T = A^r — B^T, gdzie A i B są macierzami tych samych wymiarów;

b)    A² - B² = {A - B)(A + B), gdzie A i B są przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni.

Uwaga. Mówimy, że macierze .4 i B są przemienne, gdy spełniają warunek

AB = BA.

Rozwiązanie

a)    W dowodzie wykorzystamy następujące własności transpozycji macierzy:

(Tl + B)^t = A^t + B^t oraz (ad)^T = a (A^T) ,

gdzie A i B są macierzami tych samych wymiarów, a a jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Mamy

(.4 - B)^t = [A + (—1 )Bf = A^t + [(—l)B]^r = A^r + (~B^r) = A^t - B^r.

b)    W dowodzie wykorzystamy wzory:

(A± B)C = AC±BC,

D(A±B) = DA±DB,

gdzie A, B są macierzami wymiaru n x m, C jest. macierzą wymiaru rnx k, a D macierzą wymiaru l x n. Dla macierzy przemiennych mamy

(A - B)(A + B) = A(A + B) - B(A + B)

= (A² + AB) - (BA + B²)

₌ a² + AB - AB - B² = A² — B².

przykłady

71

Definicja indukcyjna wyznacznika

I 3.7

Obliczyć podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:

1 - 72 VI-2

v/5 + 2 1 +v/2

a)

c)

-1    5 4

3-2 0 -1    3 6

b)

d)

cos a + i sin a    1

1    cos a — i sin a

1 z z² z² 1 z z z² 1

, •    1 , .\/3

, gdzie z = —- +* —'

Rozwiązanie

a) Mamy

= (l - V2) (1 + \/2) - (n/5 - 2) (v/5 + 2) = -2.

1 — \/2    %/5 — 2

x/5 + 2    1 + n/2

b) Mamy

cos a + i sin a    1

1    cos a - i sin a

= (cos a + i sin a) (cos a — i sin a) — 1 = cos² o + sin² a — 1 = 1 — 1 = 0.

Do obliczania wyznaczników trzeciego stopnia zastosujemy regułę Sarrusa

= (aei + bfg + c.dh.) - (ceg + afh + bdi).

i\^X/Ye

/_hxX\

///\w

© © © © © ©

^c)    Mamy

-1    5 4

3-2 0 ~ 1    3 6

= [(-1) • (-2) • 6 + 5 • 0 • (-1) + 4 ■ 3 ■ 3] - [4 • (-2) • (-1) + (-1) • 0 ■ 3 + 5 • 3 • 6] = 48 - 98 = -50.

d)    Zauważmy najpierw, że liczba z = — - -p i-j- jest jednym z elementów zbioru v^l-Zatem z³ = 1. Tak więc mamy

r z z z² 1 z z z² 1

= (1 + z³ + z⁶) - (z³ + Z³ + z³) =    _

2z³ + 1 = 1—2 + 1=0.