3360446505

10 Część I - Zadania

1.2.3.    Wykaż, że 7 jest ostatnią cyfra liczby 2² +1, gdy n 6 N2 (liczby 2² + 1, gdzie n G No nazywamy liczbami Fermata).

1.2.4.    Uzasadnij, że 10|2² — 6 dla n € N2 .

1.2.5.    Wykaż, że 1 jest ostatnią cyfrą liczby 2⁴" —5 dla n 6 N

( = Ni).

1.3. Dzielenie z resztą. Jak wiadomo, jeśli mamy ustaloną liczbę całkowita m , to nie każda liczba całkowita dzieli sie przez m . Na przykład 34 nie dzieli sie przez 5, ponieważ nie ma takiej liczby całkowitej, która pomnożona przez 5 da iloczyn równy 34. Oznacza to, że gdybyśmy chcieli rozdzielić 34 zeszyty miedzy pięciu uczniów, tak aby każdy otrzymał jednakową ilość, to nie potrafilibyśmy tego dokonać. Możemy jednakże dać każdemu uczniowi po 6 zeszytów i pozostaną nam jeszcze 4. Dzieląc 34 przez 5 otrzymujemy zatem 6 oraz reszte 4. Fakt ten zapisujemy 34 = 5 • 6 + 4 .

Przypuśćmy, że mamy dwie liczby całkowite n oraz d, przy czym d 7^ 0. Dzielenie (z resztą) liczby n przez d polega na znalezieniu liczb całkowitych q oraz r takich, że n = qd 4- r oraz 0 < r < \d\. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia n przez d, a liczbę q niepełnym ilorazem lub ilorazem częściowym tego dzielenia. Oczywiste jest, że d\n wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0 .

1.3.1.    Znajdź niepełny iloraz i resztę z dzielenia

(a)    23 przez 3;

(b)    43 przez 4;

(c)    36 przez 12.

1.3.2.    Niech n i d będą liczbami całkowitymi, przy czym d > 1 . Korzystając z zasady minimum wykaż, że istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q i r taka, że n = dq + r, gdzie 0 <r < d.

1.3.3.    Pokaż, że kwadrat liczby całkowitej nieparzystej przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1.

1.3.4.    Pokaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.