scan 5

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n +1).

1

5 8    8 11

2(3«+ 2)

(3w — 1) (3/z -ł- 2) (3(n+l)-l)(3(n+l)+2)

<- wstawiamy w miejsce -J- +... + ——-7——-^J    J 2-5    (3/2-1K3/2+2)

1

1

2(3n+ 2)    (3n+3-l)(3n+3+2)    2(3n + 2)    (3n+2)(3n+5)

Teraz sprowadzamy do wspólnego mianownika, zapisujemy wyrażenie na wspólnej kresce.

n (3« + 5)

2 (3/2+ 2) (3«+ 5)    2 (3/2 + 2) (3/2+5)

_    /2 (3/2 + 5) + 2    _

2 (3/2 + 2)(3/i + 5)

_    3/2~ + 5/2 + 2

2(3/2 + 2) (3/2 + 5)

Teraz prawa strona. Podstawiam w miejsce n, n + l, czyli

P=-

n+ 1

2 (3 (/2 + 1) + 2) n+1    n+l

2(3n + 3 + 2)    2 (3/2 + 5)

(n+l) (3n + 2)

2(3n + 5)(3n + 2)

_ 3n² + 2n+3n + 2 _ 2(3n + 5)(3n + 2)

3n² + 5n + 2 2(3n + 5)(3n + 2)

Mnożę licznik i mianownik przez 3n + 2, aby uzyskać ten sam mianownik, co po lewej stronie.

L = P

Zad.5.

Udowodnij, że A l² ₊ 2² ₊ 3² + ... ₊ „²=-2iŁŁii2!±ii

neN    «

Dowód:

Pierwszy krok indukcjny (Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą stronę przez P.

Niech n = 1, wtedy

L = l² = 1

_p 1(1 + 1)(21+1) _ 2 3 _ 6 _ e 6 6 6

czyli

L = P

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy też jest prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1).

L = l² + 2²+3²+... + «²+(w + l)²

= n{n + Wn + \L +_{(w + 1)}2 ₌

6

_ /»(n + l) (2 n + l) . 6(n + l)² _

6 6

_ n(n + l)(2n + l) + 6(n + l)^z _

6

_ n(2n²+n+2n+l)+6(n²+2n+l) 6

_ 2n³+n²+2n²+n+6n²+12n+6 6

_ 2n³+9n² + 13n+6 6

= Tworzymy sumę dla n + 1 wyrazów.

Zastępujemy 1² +... + n²

_________n(n+ 1)(2«+ 1)

wyrażeniem —»-^-^L

6

Sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Zapisuję na wspólnej kresce Wykonuję zaznaczone działania

Korzystam ze wzoru (a + b)² = a² + lab + b²

Redukuję wyrazy podobne.

15