010

matematyczna

: O •; . ■ . :

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stroną równania przez L, a prawą stroną przez P.

Niech « = 1, wtedy L = 1

1(1 + 1) \ t

1, czyli L = P

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli // - 1).

L = 1 +2 + 3 + ... + ;? + («+ 1) =	(Suma utworzona dla następnej liczby naturalnej, /) + 1).
= "^("2^+,,+<"^+l> =	Zamiast 1 + ... + n podstawiamy wzór z tematu zadania, czyli
n(n + 1) 2 (n + 1)	n (n + ' 2	-, a potem sprowadzamy do wspólnego
2 2 _ n(n+ 1) + 2(n + 1) 2	mianownika.
(n + 1)(« + 2)	Teraz wyłączamy wspólny czynnik przed nawias,
= ----	w nawiasie pozostawiając to, co „stało" przy
2	wspólnym czynniku.
Teraz zobaczymy, jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w temacie zadania wstawić (n + 1).
(»+!)(»+1 + 1)	Wzór z;	zadania przekształcamy tak:
2 (« + 1) (n + 2)	n -i-1 V n	n + 1 ^v / {n + 1) ^A 2
2 Zatem	stąd iloraz ^(n + W" + ^1>

L = P

Pierwszy i drugi krok indukcyjny zachodzi, zatem twierdzenie zostało udowodnione.

10

1

t