9414912640

Dowód jest przez indukcję względem m. Dla m = 1 warunek (AA) oczywiście zachodzi. Załóżmy zatem prawdziwość warunku dla m — 1, gdzie m > 2. Przyjmując w warunku (car) za zbiór B zbiór B_m i za zbiór Z zbiór Zn U B_n otrzymujemy

#** (zn U Bn) =M* (^(zn U b„J ns_mJ +/*• ^zn U^B»j \^Bn>J =

= ji^,(znB») + / (zn U b„) = /a*(znB_m)+E/'*(znB„) = E/»*(znB„),

tj-

(■*[zn U^B»j =EM*(znB„),

co pokazuje, że warunek (AA) zachodzi.

3) Weźmy dowolny ciąg zborów B₂, B_:i,... G 9J1 parami rozłącznych. Biorąc dowolny zbiór Z C X oraz korzystając z (A) i (AA) dostajemy

= f [z n U Bn) + /** (z\Us„) =

= f>*(znB„) + // (z\ U B„)

Biorąc teraz pod uwagę nierówność

li" (z\ (j B„) < n* (z\ |JB„

(zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) dostajemy

m*(z) > E M*(Z n b„) + /1* (z\ U Sn) ■

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n—* oo otrzymujemy M*(Z) > E M*(Z n B„) + /,* [z \ 0 B„) .

A ponieważ na mocy Twierdzenia 3.1 (ii)

E/<*(ZnB„) >(U(ZnB„)) = (zn Q B„) ,

5