scan 3

Niech n = 1, wtedy L = 1

czyli L = P

p-Ki+i) Ji-i 2 /

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n +1).

-V-

n (n +1) 2

L = 1 + 2 + 3 + ... + n + /i +1 =

V._

+ n +1 =

(Suma utworzona dla następnej liczby naturalnej, n + 1).

Zamiast 1+...+n podstawiamy wzór z tematu zadania, czyli

n(n+ 1)    2 (n + 1)

2 2

, a potem sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Teraz wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, w nawiasie pozostawiając to, co "stało" przy wspólnym czynniku.

Teraz zobaczymy jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w temacie zadania wstawić n +1.

Wzór z zadania przekształcamy tak

n_(/i+ 1)

2

p _ (n + l)(n + l + l)

_ (« + l)(n + 2) 2

Zatem

L = P

_stąd iloraz

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej). Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą przez P.

Niech n = 1, wtedy

L=l + 3¹=l + 3 = 4    (bo w miejsce n do lewej

strony równości wstawiamy 1, dlatego zaczynając od 1 należy skończyć sumowanie na 3¹).

V^+l_1    •i² _ 1 Q _ 1    0

P =---=—-—=—-—=—=4 To samo robimy po

¹    l    l l prawej stronie równości.

czyli

L = P

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1).

Sumę "rozszerzamy" przez dopisanie kolejnego składnika dla n = n + 1.

1 + 3¹ + . . +3" zastępujemy wzorem z tematu zadania, następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika i przekształcamy

dodajemy 3^B+1 do 2 3ⁿ⁺¹

Korzystamy teraz ze wzoru a" a^m =aⁿ*^m

i przekształcamy

₃l_t3« ₊ l _ ₃1 + /I + 1 _    ⁺ ^

L = l + 3¹ + 3²+... + 3" + 3”⁺¹=

3h+1 -j    ,

+ 3"⁺¹=

₃«+i_l    _2    3«₊i

2 2

3^n+ł- l + 2-3"⁺¹

J

Zad.2.

3"⁺¹ -1

Udowodnij, że /\ 1 + 3¹ + 3² +... +3” =

«eN    2

3 • 3'^l+l - 1    3 -3" -1

3ⁿ*² - 1 2

11