scan 3

Niech n = 1, wtedy L = 1

p    ₌ I_Jl = 1    czyli L = P

2 Z

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest też prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n + 1).

L = l + 2+ 3 + ... + n + n +1 = (Suma utworzona dla nastę-v_ _✓    pnej liczby naturalnej, n + 1).

_ n(n +1)    + n + l— Zamiast l+...+npodstawiamy

¹    wzór z tematu zadania, czyli

_ n (n + 1 j ₊ ^(ⁿ+ 1) _    , a potem sprowadzamy

do wspólnego mianownika.

Teraz wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, w nawiasie pozostawiając to, co "stało" przy wspólnym czynniku.

Teraz zobaczymy jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w temacie zadania wstawić n + l.

Wzór z zadania przekształcamy tak

n (n+l) 2

stąd iloraz (" ^{+ 1})y ^{+ 2})

p_ (n+ !)(« +1 + 1) _

_ (n + l)(n+2) 2

Zatem

L = P

Zad.2.    _R+1 ^

n eN

Udowodnij, że /\ 1 + 3¹ + 3² +... +3" =    ¹

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (Sprawdzamy prawdziwość

twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą przez P.

Niech n = 1, wtedy

L = 1 + 3¹ =1 + 3 = 4    (bo w miejsce n do lewej

strony równości wstawiamy 1, dlatego zaczynając od 1 należy skończyć sumowanie na 3¹).

_D 3¹⁺¹ -1    3²-1    9-1    8    _A rj,

r =---=—-—=——— =— =4 To samo robimy po

¹    z    z prawej stronie równości.

czyli

L = P

Drugi krok indukcyjny (Sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest prawdziwa dla następnej

liczby naturalnej, czyli n + 1). L = l + 3^ł + 3²+... + 3” + 3”⁺¹=

³"⁺¹-l    + 3"⁺¹=

_ 3"^łl-l 2 3"⁺¹ 2 2

_ 3"⁺¹- l + 2-3"⁺¹ .

2

3 3"^^ł _ i    3¹.3^B+1_i

Sumę "rozszerzamy" przez dopisanie kolejnego składnika dla n = n + 1.

1 + 3¹    3" zastępujemy

wzorem z tematu zadania, następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika i przekształcamy

dodajemy 3^n+l do 2 3"⁺¹

Korzystamy teraz ze wzoru

aⁿ a^m = a^n+m

i przekształcamy

n

1

2 2

_ 3ⁿ⁺¹-\

2