S6300959

przykłady 55

przykłady 55

_b) Niech n > I- Wtedy

Hm (l - £)" = K¹ “ k) O ⁺ £)] “ ““ T~ ⁿ) V

V ⁺ n - 1 ]

lim fl + -V

n—»oo \ 71/    6

e • 1

lim fu--—-)    ■ lim (l +—i—^

n—»oo \    71 — 1 /    n—*oo \    71 — 1 /

c) Mamy

(n. + i)²"³⁺⁴ⁿ

lim

_n-oo (_na + 2n)

n^a+2n

lim (Ą^! nr + 2n

, n² + 2n + 1

■JiiŁL n^a + 2w

1    \n³ + 2n

lim f 1 H--5-—^

n-oo \ nr + 2n)

(    1    \ n’-t-«dn

Ostatnia równość wynika z faktu, że ciąg ( 1 4—^)    jest podciągiem ciągu

H)'

d) Mamy

tfe-

hi)'

lim fj——t) = lim , 1 i"\~n ⁼ H^m

n~+oo \ 472. Ą~ 1 /    n~-»co (    4“ 1 \ n—*o

\ 4 Tl

Wrozwiązaniu korzystaliśmy z faktu, że ciąg ^1 +    jest podciągiem ciągu ^1 + —^

oraz z twierdzenia o granicy pierwiastka ciągu, tzn. z równości

lim sfx_r

n—*00

fi

lim x_n, gdzie x_n ^ O dla n € N.

e) Mamy

ioⁿ    /    1

)    = lim (1 - —_:

n—*oo    v—^    n—*oo \ lv)^ł

n „dziewiątek”

lim (0.99.. .9

n—*00    ^J

n „dzic

Tutaj korzystaliśmy z równości

l\ⁿ 1 e

lim (l - -)

n—*oo \    Tl J

oraz z faktu, że ciąg ^1 -    jest podciągiem ciągu ^1 — — ^

f*) Zauważmy najpierw, że ciąg x_n — fl +    jest podciągiem ciągu e_n —

Zatem dla każdego n € N spełnia nierówność podwójną 2 < x_n < 3. Nierówność ta wynika z dowodu zbieżności ciągu (e„) do e. Ponieważ