672581043

Przykład 0.4.21 Niech X będzie liczbą sukcesów w n\ próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p e (0,1). Niech Y będzie niezależną od X zmienną losową będącą liczbą sukcesów w próbach Bernoulliego o tym samym prawdopodobieństwie sukcesu . Wtedy X + Y ma rozkład dwumianowy b(k,ni + ri2,p).

Przykład 0.4.22 Jeśli X, Y są niezależne i X ~ Poisson(A) oraz Y ~ Poisson(p), to X + Y ~ Poisson( A + p).

Dla zmiennych losowych typu ciągłego X ~ fx oraz Y ~ f_Y, jeśli X, Y są niezależne to X + Y ma gęstość fx+r(z) = J_ fx(x)f_Y{z-x)dx = f_Y{x)f_x(z - x)dx

Przykład 0.4.23 Niech X ~ t/[0,1] oraz Y ~ U[0,1] mają ten sam rozkład jednostajny na [0,1]. Jeśli X i Y są niezależne, to

f ^2	gdy	0 < z < 1
fx+v(z) = < 2 - z	gdy	1 < z < 2
l o	poza	tym
Wykres tej gęstości:

Przykład 0.4.24 (Rozkład Erlanga rzędu n). Jeśli X\,.... X„ są niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem A > 0, to

fx_l+...+x„(z) = ((n - l)!/A^n_1)^_1z^n_1Ae^_A2I₍₀,_lxl)(z)

Przykład 0.4.25 (Proces Poissona) Niech (Xi, Xi, •••) będzie nieskończonym ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem A > 0. Wtedy N(t) = max{n : X\ +... +X_n < t}, dla dowolnego t > 0 liczy ile punktów umieszczonych w odstępach kolejno X{, i = 1,2,... od początku układu współrzędnych zmieści się przed t. Zbiór zmiennych losowych (N(t), t > 0) nazywamy procesem Poissona. Wtedy

P(N(t) = i) =

dla i = 0,1,2,tzn. zmienne N(t) mają rozkłady Poissona, których parametr zmienia się wraz z t i równa się At.

17