672581042

Przykład 0.4.18 Niech (A', Y) mają funkcję prawdopodobieństwa

P(iJ)	1	2	Px
1	0.3	0	0.3
2	0.4	0.3	0.7
PY	0.7	0.3

Zmienne nie sa niezależne, bo 0 = p( 1,2) ^ px(l)py(2) = 0.3 • 0.3 Przykład 0.4.19 Niexh (X,Y) mają funkcję prawdopodobieństwa

P(i,j)	1	2	Px
1	0.28	0.12	(1.1
2	0.42	0.18	0.6
PY	0.7	0.3

Zmienne X, Y są niezależne.

Przykład 0.4.20 Niech (X, P) mają gęstość f(x, y) = ((x + y + l)/2)I(₀,i)x(o,i)(^:c> y)- Wtedy X,Y nie są niezależne.

Dla wektora n € N zmiennych losowych (Ai,X_n) niezależność definiujemy analogicznie do przypadku

n = 2.

Definicja 0.4.10 Jeśli (Aj,X_n) ma rozkład typu ciągłego o gęstości f(x\, ...,x_n) wtedy X\,.... X_n są niezależne gdy

f(xi,...,X_n) = fXi(^xl)-fx_n(^xn) dla wszystkich x\,....x„ € R.

Definicja 0.4.11 Jeśli (Aj,.... X_n) ma rozkład typu dystkretnego o funkcji prawdopodobieństwap(i\.....i_n)

wtedy Xi,...,X„ są niezależne, gdy

p(h, -;in) = PXi(il)-Px„(i_n) dla wszystkich ii,.... i_n € Z.

Niezależność (Ai,..., X„) w obu przypadkach jest równoważna warunkowi P(Ai € yh,...,A_n € A_n) = P{Aj € A\)...P{X_n € A_n) dla dowolnych zbiorów A\,..., A_n.

0.4.6 Sumy niezależnych zmiennych losowych

Dla dyskretnych zmiennych losowych P(X + Y = k) =    P(X = i, Y = k — i). Przy założeniu niezależ

ności A, Y otrzymujemy

P(A + Y = fc) = Y, ^P(^X = *)^p(^y = ^k ~ i)

16