P4200260

Przykład 14

Niech F(x) = 4 + J sin (2x). Z twierdzenia o wartości średniej mamy |F(x) - F(y)| = sin (2x) - sin (2y)| = ||cos(20l • |x- y| < §|x — y|. Jest to więc odwzorowanie zwężające na R i ma punkt stały, który można otrzymać iteracyjnie. Jeśli F'(s) ^ 0, to rząd metody iteracyjnej jest równy 1, bo e_n+1 = F'(£)e_n.

Definicję 3.6 można łatwo uogólnić na odwzorowania F :

I Wystarczy zamienić symbole wartości bezwzględnej | • | na symbole normy || • jj i wziąć C c Rⁿ. Wtedy Twierdzenie 3.7 jest prawdziwe dla F : Rⁿ -* Mⁿ i C c M". Aby F było odwzorowaniem zwężającym wystarczy aby dla pewnej normy || • || istniało A, 0 < A < 1, dla którego na otwartym i wypukłym zbiorze CcK" jakobian F'(X) spełnia:

VXe C #P(X)| < A.

[Mamy bowiem

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)