0515

517

§ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

487. Twierdzenie o wartości średniej. W pierwszym twierdzeniu o wartości średniej w postaci pierwotnej [304, 9°] korzystamy w sposób istotny z tego, że funkcja f(x) jest ograniczona, a przedział całkowania skończony. Dlatego też nie można tego twierdzenia przenieść na przypadek całki niewłaściwej. Możemy to natomiast zrobić, jeżeli weźmiemy je w postaci uogólnionej [304, 10°].

PIERWSZE twierdzenie o wartości średniej. Niech funkcje f(pc) i g(x) będą całko-walne w przedziale <a, by i niech f(x) będzie ograniczona:

m </(x) <M,

a g (x) nie zmienia znaku. Wtedy funkcja f{x)-g (x) jest całkowalna i

b    b

J7(x) 9 O) dx = pjg (x) dx,

o    a

gdzie /i< M.

Istnienie całki wynika z końcowego twierdzenia z ustępu 475 i analogicznego twierdzenia z ustępu 482. Natomiast samą równość dowodzimy w sposób formalny tak samo, jak dla całek właściwych.

Jeżeli funkcja / (x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a, by, to jako m, M możemy wziąć najmniejszą i największą wartość /(x) w <a, by i czynnik p jest wtedy równy jednej z wartości funkcji f(x)

jf(x)g (x) dx =f(c) Jg (x) dx,

a    a

gdzie c jest zawarte w <a, by. Jest to prawdziwe także wtedy, gdy przedział <a, by jest nieskończony, gdyż twierdzenia Weierstrassa i Bolzano-Cauchy’ego [85, 82] mogą być zastosowane w tym przypadku, o czym łatwo można się przekonać.

Zachodzi także [porównaj 306, 14°]

Drugie twierdzenie o wartości średniej. Niech funkcja f(x) będzie monofoniczna i ograniczona w przedziale <a, by, a funkcja g (jc) całkowalna w tym przedziale. Wtedy funkcja f (x)-g (x) jest też całkowalna i

f /(*) 9 (x) dx = f(a) J g (x) dx+f(b) j g (x) dx (a < ó) .

a    a    i

Zatrzymamy się na przypadku, gdy a jest skończone, b = + oo i g (x) nie ma innych punktów osobliwych. Istnienie całki wynika z kryterium Abela.

Nie ograniczając ogólności możemy przyjąć, że funkcja /(x) jest malejąca. Z uwagi na jej ograniczoność istnieje granica skończona

/(+oo) = Jim/(x).

X—+O0

Wtedy/*(x) = /(x) -/(-(- oo) ^ 0. Dla przedziału skończonego {a, A) mamy [306,13°]