0519

521

§ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

Przy tych założeniach zachodzi równość (5)    ff(x)dx = ff(<p(t))<p'(t)dt,

a    ot

jeżeli tylko istnieje jedna z tych całek (istnienie drugiej już stąd wynika).

Druga całka jest bądź właściwa, bądź niewłaściwa z jedynym punktem osobliwym /?. Z twierdzenia o funkcji odwrotnej [83] widać, że t można też traktować jako funkcję zmiennej x, t = 6 (x) monotonicznie rosnącą i ciągłą w <a, b), przy czym lim 6 (x) = /?.

X-H

Przypuśćmy teraz, że x₀ i t₀ są dowolnymi, lecz odpowiadającymi sobie wartościami x i t z przedziałów (a, b) i <a, /?). Dokonując w całce właściwej podstawienia otrzymujemy

ff(x)dx = f/(<p(t)) Y(0 dt.

a    a

Przypuśćmy, że istnieje druga spośród całek (5). Będziemy wtedy zbliżać w dowolny sposób jc₀ do b, wówczas t₀ = 6 (x₀) będzie dążyło do /? i otrzymamy wzór (5) wraz z dowodem istnienia całki po lewej stronie tej równości.

Rozumowanie nasze da się także zastosować w przypadku funkcji monotonicznie malejącej 95 (t), gdy a > fi. W ten sam sposób postępujemy w przypadku innych możliwych położeń punktów osobliwych. Przy rozmieszczaniu granic w całce przekształconej należy zawsze pamiętać, że dolna granica ot odpowiada dolnej granicy a, a górna granica fi górnej granicy b niezależnie od tego, czy będzie a < j? czy też ot > fi.

491. Przykłady

⁰⁰    dx    \

1) Całkę f / ,    ._s , —rrr (k²<l<x₀) można za pomocą podstawienia x=—_r, dx

; \ x (x— 1) (x—k²)    t*

= — -jjdt sprowadzić do całki

"² /

= ²/

dt

j/(l—f²)(l—k²/²)

dt

|/(l-/²)(l-k²/²)

Tutaj a = x₀, b = 00, « = l//xT, /? = 0. Całka niewłaściwa przechodzi we właściwą. 2) Obliczyć całkę

/■

dx

i ]/{x-a){.b-x)

za pomocą podstawienia

x = a cos² (p+b sin² <p .

Wskazówka. Tutaj « = 0, jS = rc/2 i szukana całka sprowadza się do całki właściwej

it/2

2 J d(p — 7T

3) Celem wykazania zbieżności całki J sin x² A dokonamy podstawienia * —    </x « dtjl^t