0517

519

$ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

489. Przykłady

*12

z¹¹ - i _x™±dx

⁰ J sin*

«/2

= - f -?—dx. ■> tg*

«/»

1) J ln sin x dx = z ln sin *|*^/J — J

Za pomocą całkowania przez części udało się nam sprowadzić całkę niewłaściwą do właściwej i udowodnić w ten sposób istnienie całki niewłaściwej {porównaj 483,2) (c)]. Ten sam charakter mają także następujące przykłady:

2) (a) f *ⁿ x dx = f In x d arc tg x = ln x arc tg *1*— f ^arc ^ ^x dx — — f —^rC—— dx,

J 1 + *^J    j    ¹⁰ j X    j X

0 0 0 0

(b) analogicznie:

«D

»/'

•dx •

/

/■

ln x

-dx

arc sin x

„

dcos x    cos x

dx.

x*

■-/

- dx (a > 0).

Ponieważ podstawienie granic całkowania i całka po prawej stronie mają sens, więc tym samym znów udowodnione zostało istnienie całki po lewej stronie [patrz 476, 477],

Analogicznie możemy wykazać istnienie całki f ^J ■/ dx (a, A>0), gdy funkcja /(*) jest ciagla i jej

. x*

X

całka F(x) = J/(/) dt jest ograniczona dla wszystkich x>a. Wynika to z kryterium Dirichłeta.

O

Całkując przez części możemy czasem otrzymać wzory redukcyjne, za pomocą których łatwo już obliczyć całki. Zilustrujemy to na następujących przykładach (n i k są liczbami naturalnymi):

4) I, = / e~'t’dt.

Mamy

/, = -e-'f\”+«/ e-U'-'dt = /i/.-!,

skąd I, — «!.

Zniknięcie tutaj (i w dalszych przykładach) wyrazu z symbolem |g wskazuje na wyższość stosowania wzoru na całkowanie przez części właśnie w przypadku całek oznaczonych (nie zaś nieoznaczonych).

OD

5) £„ = J e~*“ sin" xdx (o > 0). o

Przede wszystkim otrzymujemy całkując przez części

E_n= —— e^-“ sin"* a

e~^a* sin"^-1* cos x dx .

Ponieważ wyraz z symbolem |“ jest równy zeru, więc stosując znów całkowanie przez części otrzymujemy

00 ^w

E, ---e~'“ sin"^-1* cos *

a¹

-ⁿ -D f e~*^x sin ^m~²x cos²* dx--— [er** sin"x dx .

a² j    Qr j