0523

525

§ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

więc

f W) Jy-a

—co    —oo

Stąd — z uwagi na parzystość funkcji podcałkowej — wynika żądany wzór.

14) Na zakończenie, po opanowaniu techniki podstawiania w całkach niewłaściwych, powrócimy do jednego nie rozwiązanego poprzednio do końca zagadnienia. W ustępie 439, 1) badaliśmy już ciągłość funkcji

m - V si 2. .

Z-i n*+x²n^ą

łl»l

lecz nie ustaliliśmy jej zachowania się w punkcie r = 0w przypadku, gdy 0<p<l, q> 1 i p+q< 2.

Korzystając ze wzoru (lOa) w notce na str. 243 możemy oszacować od dołu sumę szeregu za pomocą całki

/«>/

x dt

t'+t'x¹ '

Podstawiając tu / = x~¹h*~'⁾v sprowadzamy tę nierówność do nierówności

P4«—2

f(x) > * «-»

/

2/(ą-p)

dv

Gdy x -► +0, całka dąży do granicy dodatniej skończonej

eo

J v^p+v^t

o

a współczynnik przy niej bądź równa się 1 (jeżeli p+q — 2), bądź nawet dąży do eo, gdy x-+ +0 (jeżeli p+q<2). Ponieważ /(O) = 0, mamy w każdym razie w punkcie x = 0 prawostronną nieciągłość. Tak samo lewostronną.

00

Uwaga. Całkę z granicą nieskończoną J f(x)dx możemy zawsze za pomocą odpowiedniego podsta-wienia sprowadzić do całki o granicach skończonych — właściwej lub też niewłaściwej. Na przykład, jeżeli a>0, możemy przyjąć x =    ,

«    O

b

Przeciwnie całkę niewłaściwą J /(*) dx z jedynym punktem osobliwym b możemy zawsze sprowadzić

m

do całki z granicą nieskończoną bez innych punktów osobliwych. Na przykład, podstawiając x = b— otrzymujemy

«    1/(5—«)