0513

515

§ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

§ 3. Własności! przekształcanie całek niewłaściwych

486. Najprostsze własności. Będziemy rozpatrywali funkcje całkowalne (w sensie właściwym lub nie) w przedziale skończonym lub nieskończonym <a, bj. A więc a i b mogą być nie tylko liczbami skończonymi, lecz także ± oo. Najprostsze własności całek niewłaściwych, które tylko przytoczymy bez dowodu, są całkiem analogiczne do własności całek właściwych [302-306] i można je z nich wyprowadzić jednolitą metodą. Ponieważ całki niewłaściwe są granicami całek właściwych, wystarczy zwykle napisać równość czy też nierówność wyrażającą daną własność dla całek właściwych i następnie przejść do granicy.

Przede wszystkim można tutaj także wprowadzić pojęcie całki w przedziale zorientowanym i wykazać że:

1° Jeżeli funkcja /(x) jest całkowalna w przedziale <a, bj, to jest ona także całkowalna w przedziale (Jb, aj i

f f(x) dx = - J f(x) dx .

a    b

b

(Można to przyjąć po prostu za definicję całki f w przypadku, gdy a > b).

a

2° Niech funkcja/(x) będzie całkowalna w największym (^l) spośród przedziałów <a, bj,

{a, cj i <c, bj.

Jest ona wtedy całkowalna w obu pozostałych i zachodzi równość

Jf(x)dx = jf(x)dx + Jf(x)dx.

a    a    c

3° Jeżeli funkcja /(x) jest całkowalna w <a, bj i c = const, to funkcja c-f{x) jest także całkowalna i

a

Jc/(x) dx =

c J f(x) dx .

4° Niech funkcje f (x) i g (x) będą obie całkowalne w przedziale <a, bj. Wtedy całkowalna jest także funkcja f (jc) ±g (x) i

J U(x)±g W] dx = J/(x) dx± J g (x) dx .

a    aa

Przy dowodzie (²) tej i następnej własności należy pamiętać o uwadze z ustępu 479. Niech na przykład b będzie jedynym punktem osobliwym jednej z funkcji /(x), g (x). Wówczas z równości

j lf(x)±g (x)] dx = j f(x) dx± j g (x) dx (a < x₀ < b)

a    aa

(') Ściślej, w tym spośród przedziałów, który zawiera obydwa pozostałe.

(²) Własności 3° i 4° były już wymienione w ustępie 473 w przypadku całek w przedziale nieskończonym i były nawet wykorzystane w następnych ustępach. Tu podajemy ogólniejsze ich sformułowanie.