0521

523

§ 3. Własności i przekształcanie całek niewłaściwych

7) Obliczenie całki

CO

0

porównaj 472, 2)] możemy uprościć stosując odpowiednie podstawienie. Do tej całki można przede wszystkim sprowadzić całkę

stosując podstawienie x = 1// (a = 0, b = oo, <x = co, fi = 0). Możemy więc napisać

/ =

(\+x²)dx

l+x*

dx

Jeżeli teraz dokonamy podstawienia x—— = z (a = 0, 6 = + oo, <x = — oo, fi = +oo), to otrzymamy od razu

+ 09

— CO

I

2|/2

arctg——

|/2

+ 90

—co

2 fi ’

7 d0    ,-

8)    Aby obliczyć całkę J    , możemy podstawić f = y tg 0, tzn. 0 = arc tg r² (a = 0, b — 7r/2

o ytg0

o. = 0, fi — oo) i otrzymamy obliczoną poprzednio całkę

2 f *    = _2L_

J 1 + ,* j/T" *

9)    Wykazać, że

dx	7T
(oi^1—x^2) y i —jc^2	a ^*^2—1
dx	arc sin ot
(x^2—ot^1) |/X^1— 1	»y i—«^2
dx	_ TT
(x^2 + a^2) /l— x^2	a /1 +a^2

(0 < * < 1) ;

(<* > 0);

__

(a-²+«²)/jc² —1

In («4 ^1+ft²)

« /l+«²

(« > i);

<*> /

-I

00

<»>/

1

(O f

00

<“) /

1

dx

(jc²+«²) /P+7

In («+ ^g}— 1 ) &1/a²— 1

(* > 0) ; (« > 1) ;

arc cos « a /l-a²

(* = 1),

(0 < ot < 1) .

<•>/ = 1