obraz6 4

167

§ 19. Całki powierzchniowe

W przypadku trzeciej całki A_z = JJ x²y²zdxdy mamy

¹ „a a² • 6^1

I x² y²    x~ y

:    gdzie D₃:    -5+'

Z»tem

⁼-IK-^a7ⁱ-p-5)^,‘'^j’^dz+HW^-Ply

Di    Di    /

-#-s-r

dy dz -

dy dz.

Wprowadzając uogólnione współrzędne biegunowe y=*br cos <p, z^_Cr .

" ^{r Sln} $», otrzymujemy

D_x-+D'_x\ Os$p<n, 0<r<l

orazjakobian J—bcr. Zatem

«    1    1

A_x=2a³bc Jdpf (l-r²)^3/2rdr=2ita³bcj(l-r²)³'2, .    ₂ ,

00    o    ^ar=s^n a³bc.

Podobnie

A? —

D_Z    Dz

i dx dz

Dz

n 1

_₂fc JJ_z^l-^-^dxdz=21>j’ d? jer sin Vs/T^?_acrdr, Dz

=2    bac²jsinpdpjJT^?r²dr=Uac².

abrdipdr

4₃ =    x²y²c^jl—-5—    j^dxdy=cfj* cos² •    sin² ^/j „

-\a³b³c | Vl — r² r⁵ dr J sin² 2ę? dp =|a³b³c^§git = i§57ta³6³c. o    o

Ostatecznie otrzymujemy

JJ x³dy dz +yz dx dz +x²y²z dx dy —§ na³bc H-^rcabc² -b-j§§ita^a6³c * s

~2nabc (\a² +~c +^a²b^a).

253. Sprawdzić wzór Stokesa (wzór (11)) dla pola W™,yl+2J—xyzk, jeżeli kontur K J**t okręgiem: x² +y² m 1, z—0, a powierzchnia S jest częścią paraboloidy jc* 4- v* m —*4* 1