obraz2 4

173

T 19. Całki powierzchniowe

[części powierzchni paraboioidy

_k/;._i    r(r, ę>) = rcos ę>i-ł-rsin ę>j + (4—r²)k,

| _M <y\ o e <0,2rc>, względem osi Oz,

^T

« części powierzchni stożkowej

r(u, v)=ucósvi + usinuj+wk,

I p _c(l,2), ve(0,2>, względem płaszczyzny Oxy,

[ _e\ części powierzchni katenoidy

r(u, v) —a cosh vcos u I + a cosh vsin u j+avk,

• _gg(0,2?t), v e <0,1>, względem płaszczyzny Oxy.

268.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości górnej powierzchni kuli: x² Ą-y²+z²=R², #0, której gęstość powierzchniowa w każdym punkcie jest równa:

a)    odległości tego punktu od półśrednicy pionowej (tzn. leżącej na osi Oz, z> 0);

b)    kwadratowi odległości określonej w punkcie a).

269.    Dany jest walec kołowy o promieniu podstawy R i wysokości h. Zakładając, że aa jego powierzchni bocznej rozłożona jest jednorodnie masa o gęstości p, obliczyć wiel-kość siły przyciągania, z jaką ta powierzchnia przyciąga środek podstawy walca mający masę jednostkową.

270.    Znaleźć siłę przyciągania jednorodnej powierzchni bocznej stożka ściętego

r(q>_tr)=rcos pi+r sin ę?j+rk,    pe<0,7t>, re<b,a>, b>0,

o gęstości p, punktu materialnego o masie m umieszczonego w punkcie 0(0,0,0).

271. Obliczyć całki:

*) Wtf+y*) dx dy, jeżeli S jest dolną stroną koła x²+y²^R²;

5

b)    JJ x²y²z dx dy, jeżeli S jest dolną stroną dolnej połowy powierzchni kuli x² +y² + s

tf=R²;

x² y² z²

^c)    ||z²dx dy, jeżeli S jest zewnętrzną stroną elipsoidy—•+■—+—- — l, z%0.

s    9    4    16

271 Obliczyć całki: *) || {x+z) dx dz, jeżeli S jest górną stroną trójkąta A (a, 0,0), B(0, b, 0), C(0,0, c)

i

H&>0,c>O);

ty\\x<fydz, jeżeli S jest górną stroną powierzchni kuli x²+y²+z²=a²; ś

^c) || xyz dy dz, jeżeli S jest wewnętrzną stroną powierzchni bocznej stożka ściętego

H 1    «

<6, położonej w pierwszym oktancie (tzn. dla jc>0,y>0, z>0).