obraz4 3

175

fi 19. Całki powierzchniowe

d)    pola W=yi+zj+xh, jeżeli S jest częścią sfery

r(ę>, 9)=Rsin ę7cos #i + /?sin <psin & j -f j? coś ę>k

zwartą w I oktancie, przy czym rozpatrujemy wewnętrzną stronę sfery,

e)    pola W=2yi -t- 3xj+ (y+ż) k, jeżeli S jest częścią powierzchni walcowej

r(>, y)-2cos $?i+yj+2śin <pk, <pe <$, ^rt>,    ye<0,4>.

Uwaga: Przyjąć jedną z dwóch możliwych orientacji powierzchni S.

275. Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całki:

_a)    j^- x²y³dx+dy+zdz, jeżeli K jest okręgiem x²+y²—R², z—0 dodatnio zoriento-

t

I wanym;

b)    $xdx+(x-)ry) dy+(x+y+z)dz, jeżeli K: x(t)—a sin t, y(t)—a cos t, z(f)»

K

=a(sin/+cos r)» 0</<2łt;

c)    fy²z²dx+x²z²dy+x²y²dz, jeżeli K: x{t)—a cos t, y(t)—a cos 2t, z(t)—a cos 31 jest

JC

krzywą zamkniętą, zorientowaną zgodnie z parametryzacją;

d)    pola W=(jc+3y) i+4*j+(z+8j0 k» wzdłuż brzegu części sfery

v(ę, &)=Rsin <pcosSi+Rsin psinSj+lłcos ę»k,

ę6<0,iłt>, #e <0, \n), obieganego w kierunku ujemnym względem zewnętrznej strony sfery.

276.    Korzystając ze wzoru Gaussa przekształcić całki powierzchniowe:

a)    JJ x² dy dz -by² dx dz +z² dx dy;

8

b)    JJ >/x²-by²+z² (cos a+cos /?-fcos y) dS;

8

c)    JJ yz dy dz +xz dx dz +xy dx dy, s

jeżeli cos a, cos fi i cos y oznaczają cosinusy kierunkowe wersora normalnego zewnętrznej strony powierzchni zamkniętej S ograniczającej obszar V.

277.    Sprawdzić wzór Gaussa i obliczyć całki:

a)    JJ xz dy dz+xy dx dz+yz dx dy, jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni ogra-8

niczonej walcem x²+y²=R² (x^0,y^0) i płaszczyznami x=0, y—0, z=0, z—k (k>0);

b)    JJ x*dydz+y³dxdz-bz³dxdy, jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli 8

x²+y²+z²—a²;

c) JJ(x-y+z)dydz+(y-z+x)dxdz+(z~x+y)dxdy, jeżeli S jest zewnętrzną 8

stroną powierzchni \x—j>+zj +j}»—z+x\+\z—x+y\^sB:l‘