10(1)

Twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną I

Jeżeli funkcja F(x,y,z) jest. ciągła na płacie powierzchniowym regularnym S o równaniu

z f(x,y) dla (x,y) € D, to całka powierzchniowa niezorientowana // l'\x, y, z)dS

s

istnieje i wyraża się wzorem

JJ F(x,y,z)dS = Jj F(x, y,f(x, y))yJ 1 + \f!r(x, y)]² + \fy(x,y)]²dxdy

S    D

gdzie D jest obszarem płaskim regularnym będącym rzutem płata S na płaszczyznę ()XY. Analogicznie jeśli

• S : x = g{y,z), dla (y,z) € D_u to

JJ F(x, y, z)dS = JJ F(g(y, z), y_yz)yj\ + \(f_y(y, z)]² + [g'_g(y, z)]²dydz

S    D_x

• S : y = h(x, 2), dla (x, z) e D₂, to

JJ F{x, ?y, z)dS = JJ F{x, h(x, z), z)y/\ + \h.'_x(x, z)]² + \h'_g(x, z)]‘^żdxdz

S    Di