Ebook5

80

nozaziai .1 i»rtimca i ciągtoac jurweji

Definicja 3.7. Funkcja / ma w punkcie xo nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją granice właściwe lim /(x), lim f{x) oraz

X * Xq    X * Xq

lim_ /(x) 7^ / (x₀) lub lim /(x) ^ f (x₀).

X—>Xq    X—*Xq

Funkcja / ma w punkcie xo nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, jeżeli spełnia warunek

lim_ f(x) / lim /(x).

X—*X₀    X—*Iq

Funkcja / ma w punkcie xo nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”, jeżeli spełnia warunek

lim f(x) = lim /(x) ± f (x₀).

X ^ X q    X—*Xq

Definicja 3.8. Funkcja / ma w punkcie xo nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli nie istnieje lub jest niewłaściwa co najmniej jedna z granic lim f(x),

X—»Xq

lim f(x).

X—*Xq

Twierdzenie 3.8. (Darboux o miejscach zerowych funkcji) Jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale [a, b] oraz spełnia warunek f(a)f(b) < 0, to istniei< punkt c € (a, 6) taki, że f(c) = 0.

Uwaga 3.4. Jeżeli funkcja / jest dodatkowo malejąca albo rosnąca, to punkt c jest określony jednoznacznie.

PRZYKŁAD 12. Wyznaczyć punkty nieciągłości funkcji /

[    ^    dla    x <    0

a) f(x) —    <    0    dla    x =    0

1    ^dla    x >    °>

b) /M

<0 f(x)

5    dla

2

(ł)^X-2

logi(x + 2) -

3

3

x—1

X 7^ —2

x = —2,

dla x ^ —2 dla x € (—2, —1] 1 dla x € (—1,1] dla x > 1.

ROZWIĄZANIE, n) Badamy ciągłość funkcji

f    ^    dla    X <    0

f(x) =    <    0    dla    x =    0

[    dla    x >    0.

Na podstawie Twierdzeń 3.6 oraz 3.7 otrzymujemy, że funkcja f Jrat ciągła na przedziałach (—oo,0), (0,-foo).

Ciągłość funkcji w punkcie xo = 0 badamy przy pomocy I\vierdzrnin I Ponieważ

sin x    — 1

lim f(x) = lim -= 1 oraz lim f(x) = lim -= ln e = 1,

■ -.0-    z—»0~ X    z—*0+    z—0+ X więc lim f(x) = 1.

z—*0

Ponadto, mamy /(O) = 0, więc lim f(x) ^ /(0). To oznacza, że funkcja

z—»o

/ nie jest ciągła w punkcie xq = 0. Zatem z Definicji 3.7 otrzymujemy, że Imikcja / ma w punkcie xo = 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”.

li) Badamy ciągłość funkcji

/(*)

|z²—z—6| z+2

5

dla x 7^ —2 dla x = —2.

Na podstawie Twierdzeń 3.6 oraz 3.7 otrzymujemy, że funkcja / jrit ciągła na przedziałach (—oo, —2), (—2, +oo).

Zauważmy najpierw, że

( ^X*x+2^Q    dla x — 6 ^ 0 A x ^ — 2

f(x) = < — ^xV+2~⁶ dla x² — x — 6 < 0 A x ^ — 2 [ 5    dla x = —2,

(Byli

/(z)

■^x-    ²' dla x € (—oo, — 2) U [3, +oo)

-.(y-|K»+²) dla ze (-2,3)

5    dla x = —2.

'/litem