img056

56

^owyżsżę definicję możemy sformułować inaczej (zobacz definicję operatora cięałegc w punkcie 8&X podanę na stronie 26 ): lim. f(x) ■ g

x —» x

oznacza, że

d₂(f (x) ,g}< t

A V A..,

£> O 5 >0 XCX\\x)

w szczególności, jeśli f jest funkcję rzeczywlstę, tzn. 2^ « ft, to

lim f(x) » g (g Jest w tym przypadku liczbę) oznacza, że x—► 8

/\ \f f\ d₁(x,8)<<J-=^lf(x)-gU t e >o <$> O x c x \ [8]

ttozna ten podać inne określenie, równoważne powyższemu (zobacz str# 43) funkcja f:X—*R ma w punkcie 8 e granicę g£R, jeśli dla każdego cięgu [xj^rcx zbieżnego do punktu x w sensie metryki wprowadzonej a zbiorze    odpowiedni cięg wartości funkcji |f(x)^ c R jest zbiez

ny do liczby g w sensie metryki przestrzeni £*♦

Znane ze szkoły średniej własności granic funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej przenoszę się na przypadek funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze XCZ_1# gdzie (Z^.d^) jest dowolnę orze strzeni? metrycznę. W szczególności, jeśli f^tX—-R, f₂:X~»R oraz

^iimo V'^X' " 9i# ^lj,np ^f2'^x' “ ⁹2' ^to liffipL^fl^^x' -

X ^^ X    X X    X K

^liaę[^fl-^x-^f2'i)] ° ⁹1^Q2‘ ^zaś * przypadku* gdy g₂ / * 9^92-

^f2^(x)] * ⁹1 1 ⁹2'

O, to również

Przykłady

i. Rozpatrzmy funkcję wymierną jednej zmiennej rzeczywistej:

^e0 > .*>0 * ⁰

‘o'¹”!'¹'¹

v"*v

i załóżmy, że liczba p jest Jej miejscem zerowym, tzn. R(p)«*0 Pokażemy, źs granica funkcji t-—0(t)R(t) (O oznaczę tutaj funkcję Dirich-leta wprowadzony na stronie 55) w punkcie p jest równa zero. Istotnie funkcja R jest ciągłe na csłej osi liczbowej zr- wyjątkiem punktów, w których mianownik jest równy zerc 'dlaczego?), zatem ^lim R{c) *

* Rfo' * O, co oznacza, żo

A    V A |?-p|<£=»lR<t)K£

£> O 6>0 t £ R

Ale dla każdej liczby rzeczywistej t spełniona jest nierówność